2003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学数 学（理工农医类）（理工农医类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 第卷 1 至 2 页，第卷3 至 10 页 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）如果函数的图象与轴有两个交点，则点平面上的区2yaxbxax( , )a baOb在域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线的准线方程是，则 a 的值为（ ）2axy 2y（A）（B）（C）8（D）88181（3）已知（ ）xtgxx2,54cos),0 ,2(则（A）（B）（C）（D）247247724724（4）设函数的取值范围是（ ）0021, 1)(0, 0, 12)(xxfxxxxfx则若（A） （1，1）（B）( 1,) （C） （，2）（0，+）（D） （，1）（1，+）（5）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足OABC、 、P的轨迹一定通过的(),0,ABACOPOAPABAC 则ABC（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心（6）函数的反函数为（ ）1ln,(1,)1xyxxaa 阿 aa 阿 aa 阿 aa 阿 ba 阿 ba 阿 ba 阿 ba 阿 O 阿 O 阿 O 阿 O 阿 (A)(B)(C)(D)（A）（B）1,(0,)1xxeyxe1,(0,)1xxeyxe（C）（D）1,(,0)1xxeyxe 1,(,0)1xxeyxe （7）棱长为的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为a（ ）（A）（B）（C）（D）33a34a36a312a（8）设，曲线在点处切线的倾斜角20,( )af xaxbxc( )yf x00(,()P xf x的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为 （ ）0,4P则( )yf x （A） （B） （C） （D）10,a10,2a0,2ba10,2ba （9）已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列，0)2)(2(22nxxmxx41则 （ ）|nm （A）1 （B） （C） （D）432183（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（，0） ，直线与其相交于 M、71 xyN 两点，MN 中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）32 （A） （B） （C） （D）14322yx13422yx12522yx15222yx（11）已知长方形的四个顶点 A（0，0） ，B（2，0） ，C（2，1）和 D（0，1） ，一质点从AB 的中点沿与 AB 的夹角的方向射到 BC 上的点后，依次反射到 CD、DA0P1P和 AB 上的点、和（入射角等于反射角） ，设的坐标为（，0） ，若2P3P4P4P4x，则tg的取值范围是 214 x（ ） （A） （，1） （B） （，） （C） （，） （D） （，）31313252215232（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为2（ ）（A）（B）4（C）（D）33362634512003 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学数 学（理工农医类）（理工农医类）第卷第卷（非选择题共 90 分）二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上（13）的展开式中系数是 92)21(xx 9x（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200 辆，6000 辆和 2000 辆 为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_，_，_辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图） 现要栽种 4 种不同颜色的花， 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花， 不同的栽种方法有_种 （以数字作答）（16）对于四面体 ABCD，给出下列四个命题,ABAC BDCDBCAD若则,ABCD ACBDBCAD若则,ABAC BDCDBCAD若则,ABCD ACBDBCAD若则其中真命题的序号是_.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分 12 分） 有三种产品，合格率分别为 0.90,0.95 和 0.95，各抽取一件进行检验（）求恰有一件不合格的概率；（）求至少有两件不合格的概率 （精确到 0.001）（18） （本小题满分 12 分）已知函数上的偶函数，其图象关于点( )sin()(0,0)f xxR 是对称，且在区间上是单调函数 求的值3(,0)4M0,2和 （19） （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧111CBAABC 90ACB棱，D、E 分别是与的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G21AA1CCBA1（）求与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）BA1（）求点到平面 AED 的距离1AEGDCBAC1B1A1（20） （本小题满分 12 分）已知常数经过原点O以为方向向量的直线与0,(0, ),(1,0)aca i向量ci经过定点为方向向量的直线相交于 P，其中试问：是否存在两个(0, )2Aaic以R定点 E、F，使得为定值 若存在，求出 E、F 的坐标；若不存在，说明理由PEPF（21） （本小题满分 12 分）已知为正整数0,an（）设，证明；()nyxa1()nyn xa（）设，对任意，证明( )()nnnfxxxana1(1)(1)( )nnfnnfn（22） （本小题满分 14 分）设，如图，已知直线及曲线上的点的横坐标为0a : l yax2:,C yx C1Q作直线平行于轴，交直线11(0).(1)naaaCQ n从 上的点x11nnlPP于点，再从点作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列y1.(1,2,3,nnCQQ n于点 ） na（）试求的关系，并求的通项公式；1nnaa与 na（）当时，证明111,2aa1211()32nkkkkaaa（）当时，证明1a 1211()3nkkkkaaaOcylxQ1Q2Q31aa12aa23aa3r2r12003 年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.1C 2B 3D 4D 5B 6B 7C 8B 9C 10D 11C 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分.13 146,30,10 15120 16221三、解答题17本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分 12 分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为 A、B 和 C.（）， 95. 0)()(,90. 0)(CPBPAP.05. 0)()(,10. 0)(CPBPAP因为事件 A，B，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176. 095. 095. 010. 005. 095. 090. 02)()()()()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAPCBAPCBAPCBAP答：恰有一件不合格的概率为 0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为)()C()B()(CBAPBAPCAPCBAP 012. 005. 010. 095. 005. 010. 0205. 090. 022解法二：三件产品都合格的概率为812. 095. 090. 0)()()()(2CPBPAPCBAP由（）知，恰有一件不合格的概率为 0.176，所以至有两件不合格的概率为.012. 0)176. 0812. 0(1176. 0)(1CBAP答：至少有两件不合的概率为 0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满 12 分分。解：由),()(,)(xfxfxf得是偶函数. 0cos, 0,sincossincos),sin()sin(所以得且都成立对任意所以即xxxxx. 232,;2, 0)2sin()(,310,2;2, 0)22sin()(, 2,1;2, 0)232sin()(,32,0., 2 , 1 , 0),12(32, 3 , 2 , 1,243, 0, 043cos,43cos)243sin()43(,43cos)243sin()43(, 0),43()43(,)(.2,0或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设xxfkxxfkxxfkkkkkffxxfxfMxf19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分 12 分.解法一：（）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角.设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC，.32arcsin.323136sin. 3, 32,22,2.36321,2. 3, 1,31.,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABDBAEBEGEBGEBBAABCDFCEGEDFDEFFDFDFGEFEFDDFGADBGDECDEFABCDCBACCED（）连结 A1D，有EAADAEDAVV11,FABEFEFEDABED又, 设 A1到平面 AED 的距离为 h，ABAED1平面则 EDShSABAAED1.2621,24121111EDAESABAASSAEDABAAEA又.362.36226221的距离为到平面即AEDAh解法二：（）连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即A1BG 是 A1B 与平 ABD 所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA=2a，则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) .37arccos.372131323/14|cos).31,34,32(),2 , 2, 2(. 1. 03232).1 ,2, 0(),32,3,3().31,32,32(),1 ,(),2 , 0 ,2(1111121所成角是与平面解得ABDBABGBABGBABGABGBAaaBDGEaBDaaCEaaGaaEaA（）由（）有 A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)., 0)0 , 1, 1()2 , 0 , 0(, 0)0 , 1, 1() 1 , 1 , 1(11AEDEDEAAEDEDAAEDAE平面又平面20.（）当时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点 E 和 F；22a（）当时，方程表示椭圆，焦点220 a)2,2121()2,2121(22aaFaaE和（）当方程也表示椭圆，焦点为合乎题意的,22时a)21(21, 0()21(21, 0(22aaFaaE和两个定点.（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分 12分.证明：（）因为，nkknnCax0)(kknxa )(所以10)(kknnkknxakCynkn0.)()(1111nkknknaxnxaC（）对函数求导数:nnnaxxxf)()(nnnnnnnnnnnnnnannannanxaxxxfaxxfaxannnnfaxnnxxf)()1() 1( ,.)()(,. 0)(,0.)()(,)()(1111时当因此的增函数是关于时当时当所