第 1 页（共 53 页）初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题）11 已知 RtABC 中， C=90， a+b=14cm， c=10cm， 则 RtABC 的面积等于12观察下列勾股数第一组：3=21+1，4=21（1+1） ，5=21（1+1）+1第二组：5=22+1，12=22（2+1） ，13=22（2+1）+1第三组：7=23+1，24=23（3+1） ，25=23（3+1）+1第四组：9=24+1，40=24（4+1） ，41=24（4+1）+1观察以上各组勾股数组成特点，第 7 组勾股数是（只填数，不填等式）13观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得 b=，c=三解答题（共三解答题（共 27 小题）小题）14a，b，c 为三角形 ABC 的三边，且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状15如图：四边形 ABCD 中，AB=CB=，CD=，DA=1，且 ABCB 于 B试求：（1）BAD 的度数；（2）四边形 ABCD 的面积第 2 页（共 53 页）16 如图， 小华准备在边长为 1 的正方形网格中， 作一个三边长分别为 4， 5，的三角形，请你帮助小华作出来17如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地 A 点出发，沿北偏东 60方向走了 100km 到达 B 点， 然后再沿北偏西 30方向走了 100km 到达目的地 C点，求出 A、C 两点之间的距离18如图，在气象站台 A 的正西方向 320km 的 B 处有一台风中心，该台风中心以每小时 20km 的速度沿北偏东 60的 BD 方向移动，在距离台风中心 200km 内的地方都要受到其影响（1）台风中心在移动过程中，与气象台 A 的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？第 3 页（共 53 页）19如图，已知ABC 中，B=90，AB=8cm，BC=6cm，P、Q 分别为 AB、BC 边上的动点，点 P 从点 A 开始沿 AB 方向运动，且速度为每秒 1cm，点 Q 从点 B开始 BC 方向运动，且速度为每秒 2cm，它们同时出发；设出发的时间为 t 秒（1）出发 2 秒后，求 PQ 的长；（2）从出发几秒钟后，PQB 能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线 PQ 能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由20在ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为、，求这个三角形的面积小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1） ，再在网格中画出格点ABC（即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图 1 所示这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积这种方法叫做构图法（1）ABC 的面积为：（2）若DEF 三边的长分别为、，请在图 2 的正方形网格中画出相应的DEF，并利用构图法求出它的面积为（3）如图 3，ABC 中，AGBC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以 AB、AC 为直角边，向ABC 外作等腰 RtABE 和等腰 RtACF，过点 E、F 作射线 GA 的垂线，垂足分别为 P、Q试探究 EP 与 FQ 之间的数量关系，并证明你的结论（4）如图 4，一个六边形的花坛被分割成 7 个部分，其中正方形 PRBA，RQDC，QPFE 的面积分别为 13m2、 25m2、 36m2， 则六边形花坛 ABCDEF 的面积是m2第 4 页（共 53 页）21 （1）在ABC 中，AB、BC、AC 三边的长分别为、，求这个三角形的面积如图 1， 某同学在解答这道题时， 先建立一个每个小正方形的边长都是 1 的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处） ，这样不需要求ABC 的高，而借用网格就能就算出它的面积请你将ABC 的面积直接填写在横线上思维拓展：（2）已知ABC 三边的长分别为a（a0） ，求这个三角形的面积我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法如图 2，网格中每个小正方形的边长都是 a，请在网格中画出相应的ABC，并求出它的面积类比创新：（3） 若ABC 三边的长分别为（m0， n0，且 mn） ，求出这个三角形的面积如图 3，网格中每个小长方形长、宽都是 m，n，请在网格中画出相应的ABC，用网格计算这个三角形的面积第 5 页（共 53 页）22有一只喜鹊在一棵 3m 高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树 24m 的一棵大树上，大树高 14m，且巢离树顶部 1m当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为 5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？23 （拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性问题 1： 以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形， 探究 S+S与 S 的关系 （如图 1） 问题 2： 以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究 S+S与 S 的关系（如图 2） 问题 3： 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究 S+S与 S 的关系（如图3） 第 6 页（共 53 页）24如图，在平面坐标系中，点 A、点 B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点 C（a，b）和 D（b，a） （a、b 均大于 0） ；（1）连接 OD、CD，求证：ODC=45；（2）连接 CO、CB、CA，若 CB=1，C0=2，CA=3，求OCB 的度数；（3）若 a=b，在线段 OA 上有一点 E，且 AE=3，CE=5，AC=7，求OCA 的面积2511 世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵树高是 30 肘尺（肘尺是古代的长度单位） ，另外一棵高 20 肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是 50 肘尺每棵树的树顶上都停着一只鸟忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？第 7 页（共 53 页）26 （1）先化简，再求值：x（x2）（x+1） （x1） ，其中 x=10（2）已知，求代数式（x+1）24（x+1）+4 的值（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：从点 A 出发在图中画一条线段 AB，使得 AB=；画出一个以（1）中的 AB 为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长第 8 页（共 53 页）27问题情境勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；定理表述请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理；尝试证明以图 1 中的直角三角形为基础，将两个直角边长为 a，b，斜边长为 c的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图 2） ，请你利用图 2，验证勾股定理；知识扩展利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明，其证明步骤如下：BC=a+b，AD=又在直角梯形 ABCD 中，有 BCAD（填大小关系） ，即第 9 页（共 53 页）28观察、思考与验证（1）如图 1 是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图 2 所示，B=D=90，且 B，C，D 在同一直线上试说明：ACE=90；（3）伽菲尔德（1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图 2 证明了勾股定理（发表在 1876 年 4 月 1 日的新英格兰教育日志上） ，请你写出验证过程29超速行驶容易引发交通事故如图，某观测点设在到公路 l 的距离为 100 米的点 P 处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间为 3 秒，并测得APO=60，BPO=45，是判断此车是否超过了每小时 80 千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）第 10 页（共 53 页）30中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度如图，OAOB，OA=45 海里，OB=15 海里，钓鱼岛位于 O 点，我国海监船在点 B 处发现有一不明国籍的渔船，自 A 点出发沿着 AO 方向匀速驶向钓鱼岛所在地点 O，我国海监船立即从 B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船， 结果在点 C 处截住了渔船（1）请用直尺和圆规作出 C 处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程 BC 的长31在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： m2 3 3 4 n 1 1 2 3 a22+1232+12 32+2242+32 b 46 1224 c221232123222 4232其中 m、n 为正整数，且 mn（1）观察表格，当 m=2，n=1 时，此时对应的 a、b、c 的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由（2）探究 a，b，c 与 m、n 之间的关系并用含 m、n 的代数式表示：a=，b=，c=（3）以 a，b，c 为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由 ；如果不是，请举出反例第 11 页（共 53 页）32如图 1，在 48 的网格纸中，每个小正方形的边长都为 1，动点 P、Q 分别从点 D、A 同时出发向右移动，点 P 的运动速度为每秒 1 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 0.5 个单位，当点 P 运动到点 C 时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0t8） （1）请在 48 的网格纸图 2 中画出 t 为 6 秒时的线段 PQ并求其长度； （2）当 t 为多少时PQB 是以 BP 为底的等腰三角形33阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）理解：根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？（填是或不是）若某三角形的三边长分别为 1、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形（2）探究：若 RtABC 是奇异三角形，且其两边长分别为 2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母） （3）设问：第 12 页（共 53 页）请提出一个和奇异三角形有关的问题 （不用解答）34观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，用你的发现解决下列问题：（1）填空：112=+；（2）请用含字母 n（n 为正整数）的关系式表示出你发现的规律：；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性35小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路 AB 遇到一座山，于是要修一条隧道 BC已知 A，B，C 在同一条直线上，为了在小山的两侧 B，C 同时施工过点 B 作一直线 m（在山的旁边经过） ，过点 C 作一直线 l 与 m 相交于 D 点，经测量ABD=130，D=40，BD=1000 米，CD=800 米若施工队每天挖 100 米，求施工队几天能挖完？36如图，把一块等腰直角三角形零件（ABC，其中ACB=90） ，放置在一凹槽内， 三个顶点A， B， C分别落在凹槽内壁上， 已知ADE=BED=90， 测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积37如图，四边形 ABCD 的三边（AB、BC、CD）和 BD 的长度都为 5 厘米，动点P 从 A 出 发 （ ABD） 到 D， 速 度 为 2 厘 米 /秒 ， 动 点 Q 从 点 D 出