中考数学压轴题解题策略例谈湖北省鹤峰县五里民族中心学校 周双照如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EFBD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值一、背景出处此题是2012年恩施州数学中考试题的压轴题，题干文字精炼，图形外观简洁，设问由浅入深，内涵十分丰富. 本题涉及的知识点有二次函数、一次函数、平行四边形、垂线、平行线、函数解析式、点的坐标、面积、一元二次方程、轴对称求最短路径等初中数学的核心知识.压轴题一般由三个或四个小问题组成，这几个问题一般都是渐进式，层层递进.命题的基本思路是：立足教材，聚焦中考，力求创新.本题的原题是人教版九年级“二次函数”这一章中一个传统练习题（新老教材都有）：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（1，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴.压轴题是中考试题的“制高点”，学生通过对此题的研究，就会明确中考压轴题编写的规律，从而能挑战中考压轴题，攻克“制高点”.这对提高学生解题能力和应试能力，具有很强的现实意义.二、题目立意1 已知条件已知条件有三个： 抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点；抛物线与y轴交于点N；抛物线顶点为D.需要解答的问题有四个.2 难点的位置 第（2）问学生能想到作N点关于直线x=3的对称点N，求出N（6，3）的思路； 第（3）问建立方程模型； 第（4）问建立函数模型.3 估计难度难度系数为0.4.4 易错点解答（3）题时，要对点E所在的位置进行分类讨论，以防漏解5 隐含条件由抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于A（1，0），C（2，3）两点，可得设直线为y=kx+n过点A（1，0）及C（2，3）可得 由点M（3，m），求使MN+MD的值最小，可作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3），由（1）得D（1，4），故可求出直线DN的函数关系式. 由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），因点E在直线AC上，可设E（x，x+1），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，知F（x，x+3），又因F在抛物线上，可得x+3=x2+2x+3；当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，可知F（x，x1），由F在抛物线上可得x1=x2+2x+3. 由P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值，可知要将APC采用割补的方法，过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，设Q（x，x+1），可得P（x，x2+2x+3）6 关键点第（1）问的关键是解方程组必须准确，因后面三个问题都与第（1）问的计算结果有直接联系；第（2）问的关键是作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3）；第（3）问的关键点是懂得关于“平行四边形的存在性问题解题策略”；第（4）问的关键点是建立函数模型.7 知识立意纵观近几年的中考试题，很多省市的中考压轴题通常以平面直角坐标系为背景，借助抛物线，要么考查点、线的运动状态下的几何图形面积（周长、线段长）的函数关系式或者其最值计算、定值证明；要么考查如何确定等腰三角形或者相似三角形、特殊的平行四边形的某个顶点的位置；要么考查分类讨论下的分段函数.本题以教材中的练习题为基础，让学生循序而上，运用通性通法纵深探究.第（1）问考查利用待定系数法求函数解析式；第（2）问考查图形变换求最短路径；第（3）问求平行四边形的某个顶点坐标；第（4）问求面积的最值.后两问有新意，思维量高.8 能力立意从能力立意上看，通过学生观察、猜想、联想、计算、验证、推理等数学活动，使学生经历了问题的初步理解、深入探究、解决与回顾的过程，逐步发展了学生的动手操作、探究问题、合情推理和初步演绎推理的能力.三、解题策略我根据波利亚的怎样解题，自创了“四个什么”解题术，即“求什么”、“是什么”、“差什么”、“找什么”.第（1）问求什么：求抛物线及直线AC的函数关系式.是什么：是用待定系数法进行解题题型.差什么：差方程组.找什么：找建立方程组所需点的坐标.第（2）问求什么：求点的纵坐标.是什么：是轴对称求最短路径题型.差什么：差使MN+MD的值最小的方法.找什么：根据自编口诀：“和最小，对称找，化折为直是技巧”,此问就很容易找出其解答的方法了.第（3）问求什么：判断以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？是什么：是属存在性问题模式.差什么：差建立方程模型的条件.找什么：根据存在性问题模式的解题思路、结合平行四边形的判定方法去寻找建立模型的条件.第（4）问求什么：求APC的面积的最大值.是什么：是根据函数求最值问题.差什么：差建立函数模型的条件.找什么：一般采用分割的方法把APC的面积表示出来.解答：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点A（1，0）及C（2，3）得，解得，故抛物线为y=x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A（1，0）及C（2，3）得，解得故直线AC为y=x+1；（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N，则N（6，3），由（1）得D（1，4），故直线DN的函数关系式为y=x+，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，则m=；（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），点E在直线AC上，设E（x，x+1），如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），F在抛物线上，x+3=x2+2x+3，解得，x=0或x=1（舍去）E（0，1）；当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1）由F在抛物线上x1=x2+2x+3解得x=或x=E（，）或（，）综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（，）或（，）；（4）方法一：如图3，过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）PQ=（x2+2x+3）（x+1）=x2+x+2又SAPC=SAPQ+SCPQ=PQAG=（x2+x+2）3 =（x）2+面积的最大值为方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，如图3，设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）又SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x+1）（x2+2x+3）+（x2+2x+3+3）（2x）33=x2+x+3=（x）2+APC的面积的最大值为四、教学策略我根据教育学、心理学及新课程改革的新教学理念，自创了“初中数学五步教学法”.第一步：创设情境，激发兴趣.老师可说今天我们一起来挑战中考压轴题，看哪些同学能挑战成功？（教师可以准备一些奖品）第二步：自主探索，动手动脑.学生初次接触压轴题时，教师可以留给学生充足的探索时间，那是因为课堂一般是“七分等待，三分教学”.第三步：合作交流，质疑辨惑.学生在展示自己的成果过程中，开展合作交流；学生在合作交流过程中，能够质疑辨惑.第四步：小结反思，理性升华.“编萝织框，全在收口”，师生通过小结反思，学生所学的知识得到掌握，能力得到提升.第五步：课堂检测，查漏补缺.教师通过提问、板演、变式训练、自测题等多种形式来检查教学效果，从而进行查漏补缺.五、思想方法此题主要考查了数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想、转化思想及待定系数法、配方法等思想方法.第（1）问利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；第（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N，当M（3，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小；第（3）需要分类讨论：当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）和当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x1），然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；第（4）问方法一：过点P作PQx轴交AC于点Q；过点C作CGx轴于点G，如图1设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知SAPC=（x）2+，所以由二次函数的最值的求法可知APC的面积的最大值；方法二：过点P作PQx轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CGx轴于点G，如图2设Q（x，x+1），则P（x，x2+2x+3）根据图示以及三角形的面积公式知：SAPC=SAPH+S直角梯形PHGCSAGC=（x）2+， 所以由二次函数的最值的求法可知 APC的面积的最大值；六、变式拓展笔者从事教学30年，发现通过此题的原题进行变式拓展的题目非常多，倍受命题者的青睐，现提供一组中考试题，希望同学们有所思、从而有所悟，悟出规律、悟出方法、悟出灵感、悟出思路，便会有所发现、有所提高、有所创新，最终达到“做一题、会一类、通一遍”的效果.变式拓展1：（十堰）抛物线y=x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（1，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EFx轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若MNC=90，请指出实数m的变化范围，并说明理由菁优变式拓展2：（孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（1，0），B（3，0），C（0，3）（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQAC交x轴于点Q当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）优网变式拓展3：（山西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标变式拓展4：（玉林）如图，抛物线y=（x1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（1，0）（1）求点B，C的坐标；（2）判断CDB的形状并说明理由；（3）将