1.3.21.3.2奇偶性奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定第一课时函数奇偶性的定义与判定精选课件精选课件目标导航目标导航课标要求课标要求1.1.理解奇函数、偶函数的定义理解奇函数、偶函数的定义. .2.2.了解奇函数、偶函数图象的特征了解奇函数、偶函数图象的特征. .3.3.掌握判断函数奇偶性的方法掌握判断函数奇偶性的方法. .素养达成素养达成通过本节内容的学习通过本节内容的学习, ,使学生学会利用图象理解和研究使学生学会利用图象理解和研究函数性质函数性质, ,提高学生直观想象、逻辑推理的能力提高学生直观想象、逻辑推理的能力. .精选课件精选课件新知探求新知探求课堂探究课堂探究精选课件精选课件新知探求新知探求素养养成素养养成【情境导学情境导学】 导入导入函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-1,f(x)=- ,f(x)=2x-1,f(x)=- ,f(x)=2x的图象分别如图所示的图象分别如图所示. .精选课件精选课件想一想想一想 1:(1)1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么导入中三个函数的定义域分别是什么? ?它们有什么共同特点它们有什么共同特点? ?( (R R;(-,0)(0,+);(-,0)(0,+);R;R. .关于原点对称关于原点对称) )(2)(2)对于导入中的三个函数计算对于导入中的三个函数计算f(-x),f(-x),观察对定义域内每个观察对定义域内每个x,f(-x)x,f(-x)与与f(x)f(x)有怎样的关系有怎样的关系? ?(f(-x)=x(f(-x)=x2 2-1,f(-x)=f(x).-1,f(-x)=f(x).f(-x)= ,f(-x)=-f(x).f(-x)= ,f(-x)=-f(x).f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x)f(-x)=-2x,f(-x)=-f(x)想一想想一想 2:2:导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性导入中的三个函数的图象具有怎样的对称性? ?(图象关于图象关于y y轴对称轴对称;图象关于原点对称图象关于原点对称) )精选课件精选课件知识探究知识探究奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义(1)(1)偶函数偶函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,x,都有都有 , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. .(2)(2)奇函数奇函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,x,都有都有 , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数. .探究探究1:1:若函数具有奇偶性若函数具有奇偶性, ,则它的定义域有何特点则它的定义域有何特点? ?答案答案: :定义域关于原点对称定义域关于原点对称. .任意任意f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) 任意任意f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) 精选课件精选课件探究探究2:2:若函数若函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,且点且点(a,f(a)(a,f(a)是是y=f(x)y=f(x)图象上一点图象上一点, ,点点(-a,-f(a)(-a,-f(a)是否在函数图象上是否在函数图象上? ?答案答案: :由由f(-a)=-f(a)f(-a)=-f(a)知点知点(-a,-f(a)(-a,-f(a)一定在函数一定在函数y=f(x)y=f(x)图象上图象上. .精选课件精选课件【拓展延伸拓展延伸】判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法(1)(1)判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, ,一般有以下几种方法一般有以下几种方法: :定义法定义法: :若函数的定义域不关于原点对称若函数的定义域不关于原点对称, ,则可判断该函数既不是奇函则可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数数也不是偶函数; ;若函数的定义域关于原点对称若函数的定义域关于原点对称, ,再判断再判断f(-x)f(-x)是否等于是否等于 f(x),f(x),或判断或判断f(x)f(-x)f(x)f(-x)是否等于零是否等于零, ,或判断或判断 f(-x)0f(-x)0是否等于是否等于1.1.图象法图象法: :通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性通过函数的图象可直观地看出函数的奇偶性. .精选课件精选课件性质法性质法: :偶函数的和、差、积、商偶函数的和、差、积、商( (分母不为零分母不为零) )仍为偶函数仍为偶函数; ;奇函数的奇函数的和、差仍为奇函数和、差仍为奇函数; ;奇奇( (偶偶) )数个奇函数的积为奇数个奇函数的积为奇( (偶偶) )函数函数; ;两个奇函数的两个奇函数的商商( (分母不为零分母不为零) )为偶函数为偶函数; ;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. .对于复合函数对于复合函数F(x)=f(g(x):F(x)=f(g(x):若若g(x)g(x)为偶函数为偶函数,f(x),f(x)为偶函数为偶函数, ,则则F(x)F(x)为偶函数为偶函数; ;若若g(x)g(x)为奇函数为奇函数,f(x),f(x)为奇函数为奇函数, ,则则F(x)F(x)为奇函数为奇函数; ;若若g(x)g(x)为偶函数为偶函数,f(x),f(x)为奇函数为奇函数, ,则则F(x)F(x)为偶函数为偶函数; ;若若g(x)g(x)为奇函数为奇函数,f(x),f(x)为偶函数为偶函数, ,则则F(x)F(x)为偶函数为偶函数. .精选课件精选课件注意注意: :利用上述结论时要注意各函数的定义域必须关于原点对称利用上述结论时要注意各函数的定义域必须关于原点对称. .(2)(2)用定义判断函数奇偶性的步骤用定义判断函数奇偶性的步骤: :定义域定义域( (关于原点对称关于原点对称)验证验证f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)下结论下结论. .(3)(3)判断分段函数奇偶性的步骤判断分段函数奇偶性的步骤: :先看分段函数的定义域先看分段函数的定义域( (各段自变量范围的并集各段自变量范围的并集) )是否关于原点对称是否关于原点对称. .根据奇偶性定义根据奇偶性定义, ,要判断要判断f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系, ,需求出需求出f(-x),f(-x),因此要判断因此要判断-x-x的取值的取值范围范围, ,所以要根据所以要根据x0 x0与与x0 x0 x0时时,f(-x),f(-x)要用要用-x0-x0 x0的解析式的解析式. .奇函数的定义要求是对定义域内的任意奇函数的定义要求是对定义域内的任意x x都有都有f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),此处对此处对x x分分x0 x0与与x0 x0已讨论完毕已讨论完毕. .精选课件精选课件自我检测自我检测1.1.( (偶函数定义偶函数定义) )已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx是定义在是定义在a-1,3aa-1,3a上的偶函数上的偶函数, ,那么那么a+ a+ b b的值是的值是( ( ) )C C 2.2.( (奇函数定义奇函数定义) )已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+2x,+2x,则则f(a)+f(-a)f(a)+f(-a)的值是的值是( ( ) )(A)0(A)0 (B)-1 (B)-1 (C)1 (C)1 (D)2 (D)2A A 3.3.( (偶函数定义偶函数定义) )f(x)f(x)为定义在为定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,若若f(2)=3,f(2)=3,则则f(-2)f(-2)等于等于( ( ) )(A)-3(A)-3 (B)-2 (B)-2 (C)3 (C)3 (D)2 (D)2C C 精选课件精选课件4.4.( (判断奇偶性判断奇偶性) )若函数若函数f(x)= f(x)= 则则f(x)f(x)为为( ( ) )(A)(A)偶函数偶函数(B)(B)奇函数奇函数(C)(C)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数(D)(D)既不是奇函数又不是偶函数既不是奇函数又不是偶函数5.5.( (由奇偶性求参数由奇偶性求参数) )若函数若函数f(x)= +kf(x)= +k是奇函数是奇函数, ,则则k k等于等于. .B B答案答案: :0 0精选课件精选课件题型一题型一函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定课堂探究课堂探究素养提升素养提升规范解答规范解答: :(1)(1)函数的定义域为函数的定义域为R R, ,关于原点对称关于原点对称. . 1 1分分又又f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3+(-x)=-(x+(-x)=-(x3 3+x)=-f(x),+x)=-f(x),2 2分分因此函数因此函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数. . 3 3分分【例【例1 1】 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: :(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3+x;+x;精选课件精选课件规范解答规范解答: :(2)(2)由由得得x x2 2=1,=1,即即x=1.x=1.因此函数的定义域为因此函数的定义域为-1,1,-1,1,关于原点对称关于原点对称. . 4 4分分又又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以所以f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. . 6 6分分(3)(3)函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(-1,+),(-,-1)(-1,+), 7 7分分不关于原点对称不关于原点对称, ,所以所以f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. . 9 9分分精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件精选课件方法技巧方法技巧 判断函数奇偶性的方法判断函数奇偶性的方法(1)(1)函数图象法函数图象法. .(2)(2)定义法定义法:求函数求函数f(x)f(x)的定义域的定义域; ;判断函数判断函数f(x)f(x)的定义域是否关于原点对称的定义域是否关于原点对称, ,若不关于原点对称若不关于原点对称, ,则该函则该函数既不是奇函数数既不是奇函数, ,也不是偶函数也不是偶函数, ,若关于原点对称若关于原点对称, ,则进行下一步则进行下一步; ;结合函数结合函数f(x)f(x)的定义域的定义域, ,化简函数化简函数f(x)f(x)的解析式的解析式; ;求求f(-x);f(-x);根据根据f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)之间的关系之间的关系, ,判断函数判断函数f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性: :奇函数奇函数, ,偶函数偶函数, ,既奇又偶函数既奇又偶函数, ,非奇非偶函数非奇非偶函数; ;其中既奇又偶函数的表达式是其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,Af(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数集是关于原点对称的非空数集. .精选课件精选课件解解: :(1)(1)因为对于任意的因为对于任意的xxR R, ,都有都有f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)4 4-1=x-1=x4 4-1=f(x),-1=f(x),所以函数所以函数f(x)=xf(x)=x4 4-1-1是偶函数是偶函数. .精选课件精选课件解解: :(3)(3)函数函数f(x)=2|x|f(x)=2|x|的定义域是的定义域是R R. .因为对于任意的因为对于任意的xxR R, ,都有都有f(-x) f(-x) =2|-x|=2|x|=f(x),=2|-x|=2|x|=f(x),所以函数所以函数f(x)=2|x|f(x)=2|x|是偶函数是偶函数. .(4)(4)函数函数f(x)=(x-1)f(x)=(x-1)2 2的定义域是的定义域是R R. .因为因为f(-x)=(-x-1)f(-x)=(-x-1)2 2=(x+1)=(x+1)2 2f(x)f(x)且且f(-x)-f(x).f(-x)-f(x).所以函数所以函数f(x)f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .(3)f(x)=2|x|;(3)f(x)=2|x|;(4)f(x)