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一元二次方程的解法一一元二次方程1.定义:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程 一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项 例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0)因此,方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 例2. 判断下列方程是否为一元二次方程? (1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0作业设计 一、选择题 1在下列方程中,一元二次方程的个数是( ) 3x2+7=0 ax2+bx+c=0 (x-2)(x+5)=x2-1 3x2-=0 A1个 B2个 C3个 D4个 2方程2x2=3(x-6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( ) A2,3,-6 B2,-3,18 C2,-3,6 D2,3,6 3px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程,则( ) Ap=1 Bp0 Cp0 Dp为任意实数 二、填空题 1方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_,一次项系数为_,常数项为_ 2一元二次方程的一般形式是_ 3关于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程,则a的取值范围是_二.方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解,又叫方程的根) 例1下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根? -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4例2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? (1)x2-64=0 (2)3x2-6=0 (3)x2-3x=0练习: 一、选择题 1方程x(x-1)=2的两根为( ) Ax1=0,x2=1 Bx1=0,x2=-1 Cx1=1,x2=2 Dx1=-1,x2=2二、填空题 1如果x2-81=0,那么x2-81=0的两个根分别是x1=_,x2=_ 2已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为_三、一元二次方程的解法(一)、直接开平方法一、练习题 1若x2-4x+p=(x+q)2,那么p、q的值分别是( ) Ap=4,q=2 Bp=4,q=-2 Cp=-4,q=2 Dp=-4,q=-22若8x2-16=0,则x的值是_ 3如果方程2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是_(二)、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤:(1)将方程化为一般形式;(2)二次项系数化为1;(3)常数项移到右边;(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式(5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q0,方程的根是x=-pq;如果q0,方程无实根练习: 一、选择题 1将二次三项式x2-4x+1配方后得( ) A(x-2)2+3 B(x-2)2-3 C(x+2)2+3 D(x+2)2-3 2已知x2-8x+15=0,左边化成含有x的完全平方形式,其中正确的是( ) Ax2-8x+(-4)2=31 Bx2-8x+(-4)2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 3如果mx2+2(3-2m)x+3m-2=0(m0)的左边是一个关于x的完全平方式,则m等于( ) A1 B-1 C1或9 D-1或94配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为( ) A(x-)2= B(x-)2=0 C(x-)2= D(x-)2=二、填空题 1如果x2+4x-5=0,则x=_解一元二次方程练习题(配方法)1用适当的数填空:、x2+6x+ =(x+ )2; 、x25x+ =(x )2;、x2+ x+ =(x+ )2; 、x29x+ =(x )22将二次三项式2x2-3x-5进行配方,其结果为_3已知4x2-ax+1可变为(2x-b)2的形式,则ab=_4将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成(x+a)2=b的形式为_,所以方程的根为_5若x2+6x+m2是一个完全平方式,则m的值是( ) A3 B-3 C3 D以上都不对6用配方法将二次三项式a2-4a+5变形,结果是( ) A(a-2)2+1 B(a+2)2-1 C(a+2)2+1 D(a-2)2-17把方程x+3=4x配方,得( ) A(x-2)2=7 B(x+2)2=21 C(x-2)2=1 D(x+2)2=28用配方法解方程x2+4x=10的根为( ) A2 B-2 C-2+ D2-9不论x、y为什么实数,代数式x2+y2+2x-4y+7的值( )A总不小于2 B总不小于7 C可为任何实数 D可能为负数10用配方法解下列方程:(1)3x2-5x=2 (2)x2+8x=9(3)x2+12x-15=0 (4) x2-x-4=0(三).公式法用配方法解方程 (1) ax27x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0 (3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题 问题:已知ax2+bx+c=0(a0),试推导它的两个根x1=,x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解?) 分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去 解:移项,得:ax2+bx=-c 二次项系数化为1,得x2+x=- 配方,得:x2+x+()2=-+()2 即(x+)2= 4a20,4a20, 当b2-4ac0时0 (x+)2=()2 直接开平方,得:x+= 即x= x1=,x2= 由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此: (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac0时,将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。) (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解 (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根一、 基础练习 用公式法解下列方程; (2)x2+1.5=3x(3)(4)4x23x2=0三、巩固训练1、方程3x2kx3=0的一个根是4,则另一个根是 ,k= 。2、已知一元二次方程x2-2x+m=0,b2-4ac=0,则m= ,x= .3、方程x24x3=0的解为 。二、选择:1、关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A、k-1 B、k1 C、k0 D、k-1且k02、一元二次方程y22y4=0的根的情况为( ) A、没有实数根; B有两个相等的实数根;C、有两个不相等的实数根; D、不能确定;3、下列方程中有两个相等的实数根的是( ) A、3x2x1=0; B、x22x1=0;C、9x2=4(3x1); D、x27x15=0.三、用公式法解方程(1)2x2-x-1=0; (2)4x2-3x+2=0 ; (3)x2+15x=-3x; (4)x2+x-6=0; (5)3x2-6x-2=0; (6)4x2-6x=0(四)“十字相乘法” 一、用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解 例1计算解:反过来我们就得到 因式分解的结果: 。我们把这个过程用以下划十字的形式来反映:把二次项拆成,分别写在十字交叉的左边上下两角,把常数项4拆成,写在右边上下两角。上下两数可适当换位,使交叉相乘的和等于一次项! 练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式:(1)= (2)= (3)= (4) (5) (6) (7) (8) 总结:(1)当二次项系数是正数时,如果常数项是正数,必须拆成同号两个数相乘:一次项系数为正则拆成两个数同为正,一次项系数为负则拆成两个数同为负。(2)当二次项系数是1时,如果常数项是负数,拆成异号两个数相乘:这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。(3)
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