重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院结构稳定理论主讲：程 睿 E-mail: 2 轴心受压构件的弯曲屈曲第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲2.1 概述概述2.2 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲轴心受压构件的弹性弯曲屈曲2.3 轴心受压构件的大挠度弹性理论轴心受压构件的大挠度弹性理论2.4 轴心受压构件的非弹性屈曲轴心受压构件的非弹性屈曲2.5 初始缺陷对轴心受压构件的影响初始缺陷对轴心受压构件的影响2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.1 概述概述v轴心受压构件的失稳形式轴心受压构件的失稳形式弯曲失稳：弯曲失稳：某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。 双轴对称截面双轴对称截面 扭转失稳：扭转失稳：扭转变形迅速增大而丧失承载力。扭转变形迅速增大而丧失承载力。十字形截面十字形截面弯扭失稳：弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心 不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。 单轴对称截面，无对称轴截面单轴对称截面，无对称轴截面 弯曲屈曲是确定轴心受压构件弯曲屈曲是确定轴心受压构件稳定承载力的主要依据。稳定承载力的主要依据。2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.2 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲轴心受压构件的弹性弯曲屈曲1）理想轴心压杆的欧拉临界力）理想轴心压杆的欧拉临界力基本假定：基本假定：（1）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；（2）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；（3）材料具有线弹性，符合虎克定律；）材料具有线弹性，符合虎克定律；（4）符合平截面假定；）符合平截面假定；（5）小变形假定：）小变形假定： 弯曲曲率：弯曲曲率：2 轴心受压构件的弯曲屈曲 按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体并建立平衡微分方程：并建立平衡微分方程： 杆件处于临界状态时，内外弯矩杆件处于临界状态时，内外弯矩相等，即相等，即 令令 ，得：，得：此常系数二阶齐次微分方程的通解：此常系数二阶齐次微分方程的通解：A, B为待定系数，由边界条件确定。为待定系数，由边界条件确定。2 轴心受压构件的弯曲屈曲由边界条件得：由边界条件得：（1） 则则（2）由此可得临界力公式为：由此可得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：与之对应的挠曲线为：（m = 1，2，3，），），即即2 轴心受压构件的弯曲屈曲v临界力和屈曲形式临界力和屈曲形式 轴向压力轴向压力横向挠度横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力最低的临界力即为欧拉临界力2 轴心受压构件的弯曲屈曲v挠曲线挠曲线 当当m = 1时时P最小，对应的挠曲线方程为最小，对应的挠曲线方程为 ，为正，为正弦曲线的一个半波；当弦曲线的一个半波；当x = l /2时，时，y = v0，A即为跨中最大挠度即为跨中最大挠度 v0，故有，故有 。杆件可在任意杆件可在任意 v0值的弯曲状态下保持平衡。值的弯曲状态下保持平衡。 轴向压力轴向压力横向挠度横向挠度v0 为不定值，在小变形假设的前提下，为不定值，在小变形假设的前提下，2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程） 对于对于两端为任意支承情况时，两端为任意支承情况时，由脱离体的平衡得：由脱离体的平衡得：对上式求导两次可消去等式对上式求导两次可消去等式右端的杆端约束力：右端的杆端约束力： 令令 ，得，得 此微分方程与杆端约束力此微分方程与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，无关，故能代表各种支承情况，称称压杆屈曲的高阶微分方程压杆屈曲的高阶微分方程。 PPPP2 轴心受压构件的弯曲屈曲方程的通解为：方程的通解为：其各阶导数为：其各阶导数为：A, B, C, D为待定系数，由边界条件确定。为待定系数，由边界条件确定。各支承情况的边界条件：各支承情况的边界条件： 铰支：铰支： 固支：固支： 自由端：自由端：2 轴心受压构件的弯曲屈曲v两端固定的轴心压杆两端固定的轴心压杆边界条件：边界条件：线性齐次方程组：线性齐次方程组：为使关于为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为解，则其系数行列式应为0。 2 轴心受压构件的弯曲屈曲则则由此得由此得 或或（1）求解第一式）求解第一式 临界力：临界力：（2）求解第二式）求解第二式（为超越方程，需采用数值解法或图解法）（为超越方程，需采用数值解法或图解法） 在坐标系中分别画出曲线在坐标系中分别画出曲线 和和 ，其交点，其交点 即为方程的解。即为方程的解。2 轴心受压构件的弯曲屈曲取相交点的最小值，得取相交点的最小值，得 即即 结合上述两式的解，取小值，结合上述两式的解，取小值，得两端嵌固杆的临界力为：得两端嵌固杆的临界力为：v使方程有非使方程有非0解，满足解，满足 = 0的的k值称为值称为特征值特征值，因此，因此解理想解理想轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。v与与k值对应的值对应的y(x)为为特征函数特征函数或或特征向量特征向量，即构件处于中性，即构件处于中性平衡时的弹性曲线方程。平衡时的弹性曲线方程。v = 0为为特征方程特征方程，因，因Pcr由由 = 0求得，故又称为求得，故又称为屈曲方程屈曲方程。2 轴心受压构件的弯曲屈曲v一端铰接、一端固定的轴心压杆一端铰接、一端固定的轴心压杆边界条件：边界条件：线性齐次方程组：线性齐次方程组：为使关于为使关于A、C的齐次方程组有非的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为解，则其系数行列式应为0。 力学边力学边界界几何边几何边界界2 轴心受压构件的弯曲屈曲展开得展开得即即 上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为： （最小特征根最小特征根） 即即2 轴心受压构件的弯曲屈曲3）轴心受压构件的计算长度）轴心受压构件的计算长度 对其他约束情况，对其他约束情况，Pcr同样可由高阶微分方程计算，如：同样可由高阶微分方程计算，如： 两端铰支：两端铰支： 一端固定一端自由：一端固定一端自由： 一端固定一端平移但不转动：一端固定一端平移但不转动： 可统一表示为：可统一表示为： l0称计算长度，称计算长度，为计算长度系数。为计算长度系数。 2 轴心受压构件的弯曲屈曲v讨论讨论 l0 的实质的实质 由曲率方程有：由曲率方程有： 若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为z1、z2，即：即： 和和 代入上式得关于待定系数代入上式得关于待定系数A、B的线形齐次方程组的线形齐次方程组 即应有即应有 展开得：展开得： 即即 令令 ，得，得 ， 解得最小值解得最小值 2 轴心受压构件的弯曲屈曲 由此得到与欧拉临界力相同的算式：由此得到与欧拉临界力相同的算式： l0的实质为点的实质为点 z1、z2 之间的距离，因这两点弯矩为零，亦之间的距离，因这两点弯矩为零，亦即曲率为零，故为反弯点。即曲率为零，故为反弯点。 l0实际上相当于实际上相当于相邻两反弯点处切相邻两反弯点处切出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。 2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.3 轴心受压构件的大挠度弹性理论轴心受压构件的大挠度弹性理论1）大挠度方程）大挠度方程 构件弯曲曲率与变构件弯曲曲率与变形的关系：形的关系： 两端铰接轴压杆大两端铰接轴压杆大挠度方程为：挠度方程为：2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）讨论）讨论 （1）当当PPE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳 定平衡状态；定平衡状态； （2）当）当PPE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡 状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确 定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍 处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与 挠度关系；挠度关系； 2 轴心受压构件的弯曲屈曲 （3）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界 荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠 度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳 定平衡状态的分枝点；定平衡状态的分枝点； （4）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达 到构件长度到构件长度3%以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹 塑性状态，出现下降段。因此塑性状态，出现下降段。因此轴心压杆的屈曲后强度轴心压杆的屈曲后强度 不能被利用。不能被利用。2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.4 轴心受压构件的非弹性屈曲轴心受压构件的非弹性屈曲v欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应 力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。v临界长细比临界长细比 弹性失稳和弹性失稳和弹塑性失稳弹塑性失稳的分界点的分界点2 轴心受压构件的弯曲屈曲1）切线模量理论）切线模量理论 由德国科学家恩格塞尔（由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在）在1889年提出。年提出。 基本假定：基本假定：在弯曲时全截面没有出现反号应变。在弯曲时全截面没有出现反号应变。 达到弹塑性失稳荷载达到弹塑性失稳荷载Pt后，后，构件微弯时荷载还略有增加，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在抵消因弯曲而在11截面右侧截面右侧边缘产生的拉应力。边缘产生的拉应力。即：即：凹面压应力增加为凹面压应力增加为 max；凸面压应力增加量正好为凸面压应力增加量正好为0。2 轴心受压构件的弯曲屈曲作用作用于于11截面截面上的压力为：上的压力为：作用作用于于11截面截面上的内力矩为：上的内力矩为：全截面对形心全截面对形心轴的面积矩为轴的面积矩为02 轴心受压构件的弯曲屈曲任意任意截面截面i上上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，得：求解微分方程，得：其中其中Pt和和Et均为未知，需要迭代求解。均为未知，需要迭代求解。2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）双模量理论（折算模量理论）双模量理论（折算模量理论） 由德国科学家恩格塞尔（由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在）在1895年提出。年提出。 基本假定基本假定： （1）在弯曲时全截面出现反号应变；在弯曲时全截面出现反号应变； （2）压杆屈曲时压力保持不变。）压杆屈曲时压力保持不变。 v 弯曲时凹面产生正号应变，弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；凸面产生负号应变； 即：即： 凹面为继续加载区，凹面为继续加载区， 凸面为卸载区。凸面为卸载区。v 加载区变形模量为加载区变形模量为Et；卸载；卸载区变形模量为区变形模量为E2 轴心受压构件的弯曲屈曲作用作用于于11截面截面上的压力变化值为：上的压力变化值为：由于屈曲后压力保持不变，因此由于屈曲后压力保持不变，因此则则 即即由上式可以求出中性轴的位置。由上式可以求出中性轴的位置。2 轴心受压构件的弯曲屈曲1-1截面上的内力矩：截面上的内力矩：2 轴心受压构件的弯曲屈曲任意截面任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对