-小学奥数根底教程(五年级)第1讲数字迷一第2讲 数字谜(二)第3讲 定义新运算(一)第4讲 定义新运算(二)第5讲 数的整除性(一)第6讲 数的整除性(二)第7讲 奇偶性一第8讲 奇偶性二第9讲 奇偶性三第10讲 质数与合数第11讲 分解质因数第12讲 最大公约数与最小公倍数一第13讲最大公约数与最小公倍数二第14讲 余数问题第15讲 子问题与逐步约束法第16讲 巧算24第17讲 位置原则第18讲 最大最小第19讲 图形的分割与拼接第20讲 多边形的面积第21讲 用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲 列方程解应用题第24讲 行程问题一第25讲 行程问题二第26讲 行程问题三第27讲 逻辑问题一第28讲 逻辑问题二第29讲 抽屉原理(一)第30讲 抽屉原理(二)第1讲 数字谜一数字谜的容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。例如用猜测、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。这两讲除了复习稳固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1 把+，-，四个运算符号，分别填入下面等式的，使等式成立每个运算符号只准使用一次：5137179=12。分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“的位置。当“在第一个时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。513-717+9。当“在第二或第四个时，运算结果不可能是整数。当“在第三个时，可得下面的填法：5+13717-9=12。例2 将19这九个数字分别填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：将5568质因数分解为5568=26329。由此容易知道，将 5568分解为两个两位数的乘积有两种：5896和6487，分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：12464， 16348， 24232，29192， 32174， 48116。显然，符合题意的只有下面一种填法：17432=5896=5568。例3 在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。分析与解：先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由443000573=77371推知， 443000+573-71=443502一定能被573整除，所以应添502。例4 六位数3344是89的倍数，求这个六位数。分析与解：因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。先从右边做除法。由被除数的个位是4，推知商的个位是6；由左下式知，十位相减后的差是1，所以商的十位是9。这时，虽然8996=8544，但不能认为六位数中间的两个是85，因为还没有考虑前面两位数。再从左边做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。由左、右两边做除法的商，得到商是3796或3896。由379689=337844， 389689=346744知，商是3796，所求六位数是337844。例5 在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，一样的字母代表一样的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。分析与解：先看竖式的个位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，则要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等号两边的奇偶性不同，所以N5，N=0。此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。因为N=0，所以I0，推知I=1，O=9，说明百位加法向千位进2。再看竖式的百位加法。因为十位加法向百位进1，百位加法向千位进2，且*0或1，所以R+T+T+122，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。假设T=7，则R=8，*=3，这时只剩下数字2，4，6没有用过，而S只比F大1，S，F不可能是2，4，6中的数，矛盾。假设T=8，则R只能取6或7。R=6时，*=3，这时只剩下2，4，7，同上理由，出现矛盾；R=7时，*=4，剩下数字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求竖式见上页右式。解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。这个题目是美国数学月刊上登载的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧极了！例6 在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。请你填上适当的数字，使竖式成立。分析与解：按减法竖式分析，看来比拟难。同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢见右上式？不妨试试看。因为百位加法只能向千位进1，所以E=9，A=1，B=0。如果个位加法不向上进位，则由十位加法1+F=10，得F=9，与E=9矛盾，所以个位加法向上进1，由1+F+1=10，得到F=8，这时C=7。余下的数字有2，3，4，5，6，由个位加法知，G比D大2，所以G，D分别可取4，2或5，3或6，4。所求竖式是解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。练习11.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。2.在以下竖式中，不同的字母代表不同的数字，一样的字母代表一样的数字。请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：123456789。4.在下面的算式中填上假设干个 ，使得等式成立：123456789=2.8。5.将19分别填入下式的中，使等式成立：=3634。6.六位数391是789的倍数，求这个六位数。7.六位数7888是83的倍数，求这个六位数。第2讲 数字谜二 这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，一样的字母代表相分析与解：这道题可以从个位开场，比拟等式两边的数，逐个确定各个100000+*3=10*+1，300000+3*=10*+1， 7*=299999，*=42857。这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。我们再看几个例子。例2 在填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。求竖式。例3 左下方的除法竖式中只有一个8，请在填入适当的数字，使除法竖式成立。解：竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位数，所以*=112，被除数为989112=110768。右上式为所求竖式。代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。例4 在填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。分析与解：先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式见下页右上方竖式。可以看出，除数与商的后三位数的乘积是1000=2353的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。又由竖式特点知a=9，从而除数应是96的两位数的约数，可能的取值有96，48，32，24和16。因为，c=5，5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16，进而推知b=6。因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125，375，625和875之一，经试验只能取375。至此，已求出除数为16，商为6.375，故被除数为6.37516=102。右式即为所求竖式。求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0，则在除数和商中，一个含有因子2n不含因子5，另一个含有因子5n不含因子2，以此为突破口即可求解。例5 一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式1，这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式2，求这个五位数。分析与解：由竖式1可以看出被除数为10*0见竖式1，竖式1的除数为3或9。在竖式2中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5，而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4，6或8。当竖式1的除数为3时，由竖式1知， a=1或2，所以被除数为100*0或101*0，再由竖式2中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式2的除数为4，被除数为10020；当竖式1的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为8。因为竖式2的除数只能是4，6，8，由竖式2知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080，10260，10440和10620四种可能，最后由竖式2中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式2的除数为8，被除数为10440。所以这个五位数是10020或10440。练习21.下面各算式中，一样的字母代表一样的数字，不同的字母代表不同的2.用代数方法求解以下竖式：3.在填入适当的数字，使以下小数除法竖式成立：第3讲 定义新运算一我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最根本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。例1 对于任意数a，b，定义运算“*：a*b=ab-a-b。求12*4的值。分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根据以上的规定，求106的值。3，*=2，求*的值。分析与解：按照定义的运算，=2，*=6。由上面三例看出，定义新运算通常是用*些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应防止使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义局部，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=ab-a-b，新运算符号使用“*，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。分析与解：按新运算的定义，符号“表示求两个数的平均数。四则运算中的意义一样，即先进展小括号中的运算，再进展小括号外面的运算。按通常的规则从左至右进展运算。分析与解：从的三式来看，运算“表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数按此规定，得35=3+