精品名师归纳总结其次章行列式学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一行列式定义a11a12a1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、n 级行列式 aa21a22a2 n（ 1）等于全部取自不同行不同列的n 个元素的乘积aaa（2）的代可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij nan1an2ann1 j12 j 2nj n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数和,这里j1 j2j n 是一个 n 级排列。当j1 j 2jn 是偶排列时,该项前面带正号。当j1 j2jn 是奇排列时,该项前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结面带负号,即：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a21a12a22a1na2nan1an 2j1 j2jnanna 1 j1 j2jnaaa。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij n1 j12 j2njn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、等价定义a 1 i1i2in a aa和 a 1i1i 2in j1 j 2jn aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ij ni1i2ini11i2 2i nnij ni1i2in 和j1 j2j ni1 j1i2 j2in jn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、由 n 级排列的性质可知, n 级行列式共有占一半。4、常见的行列式1） 上三角、下三角、对角行列式n. 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a22a11a220a11a22a aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11 22nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0annannann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） 副对角方向的行列式a1n0a1 na1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaan n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n 12,n 12,n 1 12a aa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1n2, n 1n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an103） 范德蒙行列式：an1an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a1a2ana 2a2a 2 aa 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1an 1an 11 j i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12nn2二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、互换行列式的两行（列） ,行列式变号。3、行列式中某一行（列）中全部的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式。即：某一行（列）中全部的元素的公因子可以提到整个行列式的外面。4、如行列式中有两行成比例,就此行列式等于零。5、如某一行（列）是两组数之和,就这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行（列）以外全与原先行列式的对应的行（列）一样。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上,行列式不变。三、行列式的按行（列）绽开1、子式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1） 余子式：在 n 级行列式Daij中,去掉元素aij所在的第 i 行和第 j 列后,余下的 n-1 级行列式称为aij的余子式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记作 M ij 。2） 代数余子式： A 1i j M 称为 a的代数余子式。ijijij可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） k 级子式：在 n 级行列式Daij中,任意选定 k 行和 k 列 1kn ,位于这些行列交叉处的k 2 个元素,按原先可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结次序构成一个 k 级行列式M ,称为 D 的一个 k 级子式。当 kn 时,在 D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素依据原来的次序组成的 nk 级行列式 M 称为 k 级子式 M 的余子式。2、按一行（列）绽开1） 行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按第 i 行绽开Dai1 Ai1ai 2 Ai 2ain Ain i1,2, n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结按第 j 列绽开Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj j1, 2, n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ai 1 Aj1ai 2 Aj 2ain A jn0ij ; 或 a1i A1 ja2 i A2 jani Anj0, ij .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、按 k 行（ k 列）绽开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行（ k 列） 1kn1 ,由这 k 行（ k 列）元素组成的全部的k 级可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值。4、其他性质1） 设 A为 n 阶方阵,就 AA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2） 设 A为 n 阶方阵,就kAkn A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3） 设A, B 为 n 阶方阵,就 ABAB ,但 ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA04） 设 A为 m 阶方阵,设 B 为 n 阶方阵,就AB ,但 ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0BBa11a1nb11b1nc11c1n其中cijan1an1bn1bn1cn1cn15） 行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、行列式的运算ai 1b1 jai 2 b2 jain bnj , i, j1,2, n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、运算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等。详细运算时需要依据等到式中行（或列）元素的特点来挑选相应的解题方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法。用直接递推法的关键是找出一个关于Dn 1 的代数式来表示Dn ,依次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结从 D1D2D3D4Dn ,逐级递推便可以求出Dn 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二： 数学归纳法。 第一步发觉和猜想。 其次步证明猜想的正确性。其次步的关键是第一要得到Dn 关于 Dn1 和 Dn 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的递推关系式。方法三： 加边法。 加边法是将所要运算的n 级行列式适当的添加一行一列（或 m 行 m 列） 得到一个新的n+1（或 m+1 ） 级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1 （或 m+1 ）级行列式