2019-2020学年高中数学第2章几个重要的不等式学业分层测评11排序不等式北师大版一、选择题1设a1，a2，a3为正数，且a1，a2，a3的任一排列为a1，a2，a3，则的最小值为()A3B6C9D12【解析】由题意，不妨设a1a2a30，则0，3，当且仅当a1a2a3时等号成立【答案】A2设a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，Pababab，Qa1a2an，则P与Q的大小关系是()APQBPQCP0，可知aaa，aaa.由排序不等式，得abababaaaaaa，即abababa1a2an.PQ，当且仅当a1a2an0时等号成立【答案】D3某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，则至少要花_元，至多花_元()A20,23B19,25C21,23D19,24【解析】单价大小排列为3,2,1，待买礼品数量排列为5,4,2，任意交叉相乘再取和中最大值是顺序和35241225，最小值是逆序和32241519.【答案】B4设a1，a2，a3为正数，则与a1a2a3大小关系为()ABC0，于是，a2a3a3a1a1a2，由排序不等式：顺序和乱序和，得a2a3a3a1a1a2a3a1a2，即a1a2a3.【答案】B5a1，a2，an都是正数，b1，b2，bn是a1，a2，an的任一排列，则a1ba2banb的最小值是()A1BnCn2D无法确定 【解析】设a1a2an0.可知aaa，由排序原理，得a1ba2banba1aa2aanan.【答案】B二、填空题6设ab0，则a3b3与a2bab2的大小关系是_【解析】ab0，a2b20，因此a3b3a2bab2(排序不等式)【答案】a3b3a2bab27有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为_ s.【解析】等候的最短时间为：3443527141(s)【答案】418若a0，b0且ab1，则的最小值是_. 【导学号：94910034】【解析】不妨设ab0，则有a2b2，且.由排序不等式得a2b2ab1，当且仅当ab时，等号成立的最小值为1.【答案】1三、解答题9设a，b，c为正数，求证：a10b10c10.【证明】由对称性，不妨设abc0，于是a12b12c12，故由排序不等式：顺序和乱序和，得.又因为a11b11c11，.再次由排序不等式：逆序和乱序和，得.所以由，得a10b10c10.10已知0(sin 2sin 2sin 2)【证明】0，且ysin x在为增函数，ycos x在为减函数，0sin sin cos cos 0.根据排序不等式得：乱序和逆序和又本题中等号不可能取到，sin cos sin cos sin cos (sin 2sin 2sin 2)能力提升1已知a，b，c为正数，则a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A大于零B大于等于零C小于零D小于等于零【解析】设abc0，所以a3b3c3，根据排序原理，得a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知abacbc，a2b2c2，所以a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab，所以a4b4c4a2bcb2cac2ab.即a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.【答案】B2锐角三角形中，设P，Qacos Cbcos Bccos A，则P，Q的关系为()APQBPQCPQD不能确定【解析】不妨设ABC，则abc，cos Acos Bcos C，则由排序不等式有Qacos Cbcos Bccos Aacos Bbcos Cccos AR(2sin Acos B2sin Bcos C2sin Ccos A)Rsin(AB)sin(BC)sin(AC)R(sin Csin Asin B)P.【答案】C3设a，b，c是正数，则aabbcc_(abc).【解析】不妨设abc0，则lg alg blg c，据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg c，alg ablg bclg cclg aalg bblg c，以上两式相加，再两边同加alg ablg bclg c，整理得3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)，即lg(aabbcc)lg(abc)，故aabbcc(abc) .【答案】4设a，b，c大于0，求证：(1)a3b3ab(ab)；(2).【证明】(1)不妨设abc0，则a2b2c20，a3b3a2ab2ba2bb2a，a3b3ab(ab)(2)由(1)知，同理b3c3bc(bc)，c3a3ac(ca)所以.故原不等式得证