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- 1 - 2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 M=-1,0,1,N=x|x2x ,则 M N= A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0 【答案】 B【解析】0,1N M=-1,0,1 M N=0,1. 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分. 先求出0,1N, 再利用交集定义得出M N.2. 命题“若 =4,则 tan =1”的逆否命题是A.若4,则 tan 1 B. 若=4,则 tan 1 C. 若 tan 1,则 4 D. 若 tan 1,则 =4【答案】 C 【解析】因为“若p,则q”的逆否命题为“若p,则q” ,所以 “若 =4,则 tan =1”的逆否命题是“若 tan 1,则4”. 【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问题的能力.3. 某几何体的正视图和侧视图均如图1 所示,则该几何体的俯视图不可能是【答案】 D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图1 所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,都可能是该几何体的俯视图,不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形. 【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.- 2 - 4. 设某大学的女生体重y(单位: kg)与身高 x(单位: cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi) (i=1 ,2,,,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是A.y 与 x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(x,y)C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重比为58.79kg 【答案】 D 【解析】【解析】由回归方程为y=0.85x-85.71知y随x的增大而增大,所以y 与 x 具有正的线性相关关系,由最小二乘法建立的回归方程得过程知?()ybxabxybx aybx,所以回归直线过样本点的中心(x,y) ,利用回归方程可以预测估计总体,所以D 不正确 . 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是找不正确的答案,易错. 5. 已知双曲线C :22xa-22yb=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1 )在 C 的渐近线上,则C的方程为A220 x-25y=1 B.25x-220y=1 C.280 x-220y=1 D.220 x-280y=1【答案】 A 【解析】设双曲线C :22xa-22yb=1 的半焦距为c,则210,5cc. 又C 的渐近线为byxa,点 P (2,1 )在 C 的渐近线上,12ba,即2ab. 又222cab,2 5,5ab,C的方程为220 x-25y=1. 【点评】 本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了 数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.6. 函数 f (x)=sinx-cos(x+6) 的值域为A -2 ,2 B.-3,3 C.-1,1 D.-32 , 32 【答案】 B 【解析】 f (x)=sinx-cos(x+6)31sincossin3 sin()226xxxx,sin()1,16x,( )f x值域为 -3,3. 【点评】利用三角恒等变换把( )f x化成sin()Ax的形式,利用sin()1,1x,求得( )f x的值域 . 7. 在 ABC中,AB=2,AC=3 ,AB BC= 1 则_BC. - 3 - A.3 B.7 C.2 2 D.23【答案】 A 【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos)1AB BCBBCB. 1cos2BBC. 又由余弦定理知222cos2ABBCACBAB BC,解得3BC. 【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC的夹角为B的外角 . 8已知两条直线1l:y=m和2l: y=821m(m0) ,1l与函数2logyx的图像从左至右相交于点A,B ,2l与函数2logyx的图像从左至右相交于C,D . 记线段 AC和 BD在 X轴上的投影长度分别为a ,b ,当 m 变化时,ba的最小值为A16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4【答案】 B 【解析】在同一坐标系中作出y=m,y=821m(m0) ,2logyx图像如下图,由2log x= m,得122,2mmxx,2log x= 821m,得821821342,2mmxx. 依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba8218212 22mmmm. 8141114312122222mmmm,min()8 2ba. ABC- 4 - 【点评】在同一坐标系中作出y=m,y=821m(m0) ,2logyx图像,结合图像可解得. 二 、填空题:本大题共 8 小题,考生作答7 小题,每小题5 分 ,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第9、10、 11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9. 在直角坐标系xOy 中,已知曲线1C:1,12xtyt (t为参数 ) 与曲线2C:sin ,3cosxay(为参数,0a) 有一个公共点在X轴上,则_a. 【答案】32【解析】曲线1C:1,1 2xtyt直角坐标方程为32yx,与x轴交点为3(,0)2;曲线2C:sin ,3cosxay直角坐标方程为22219xya,其与x轴交点为(,0),(,0)aa,由0a,曲线1C与曲线2C有一个公共点在X轴上,知32a. 【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等. 曲线1C与曲线2C的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与x轴交点,即可求得. 10. 不等式 |2x+1|-2|x-1|0的解集为 _. 【答案】14x x【解析】令( )2121f xxx,则由( )f x13,()2141,(1)23,(1)xxxx得( )f x0的解集为14x x. 【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组). x821ym2logyxym1OABCD- 5 - 11. 如图 2,过点 P的直线与圆O相交于 A,B 两点. 若 PA=1 ,AB=2 ,PO=3 ,则圆 O的半径等于 _. 【答案】6【解析】设PO交圆 O于 C ,D,如图,设圆的半径为R,由割线定理知,1 (1 2)(3- )(3),6.PA PBPC PDrrr即【点评】本题考查切割线定理,考查数形结合思想,由切割线定理知PA PBPC PD,从而求得圆的半径. ( 二) 必做题( 1216 题)12. 已知复数2(3)zi (i为虚数单位 ) ,则 |z|=_. 【答案】 10 【解析】2(3)zi=29686iii,228610z. 【点评】本题考查复数的运算、复数的模. 把复数化成标准的( ,)abi a bR形式,利用22zab求得 . 13.( 2 x-1x)6的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答)【答案】 -160 【解析】 ( 2 x-1x)6的展开式项公式是6631661C (2)()C 2( 1)rrrrrrrrTxxx. 由题意知30,3rr,所以二项展开式中的常数项为33346C 2 ( 1)160T. 【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14. 如果执行如图3 所示的程序框图,输入1x,n=3, 则输出的数S= . ABPOABPOCD- 6 - 【答案】4【 解 析 】 输 入1x,n=3, , 执 行 过 程 如 下 :2 :6233iS;1:3( 1)1 15iS;0:5( 1)014iS,所以输出的是4. 【点评】本题考查算法流程图,要明白循环结构中的内容,一般解法是逐步执行,一步步将执行结果写出,特别是程序框图的执行次数不能出错 . 15. 函数 f (x)=sin (x) 的导函数( )yfx的部分图像如图4 所示,其中, P为图像与 y 轴的交点, A,C 为图像与 x 轴的两个交点, B为图像的最低点 . (1)若6,点 P的坐标为( 0,3 32) ,则 ; (2)若在曲线段ABC与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在ABC内的概率为 . - 7 - 【答案】(1)3; (2)4【解析】(1)( )yfxcos()x,当6,点 P的坐标为( 0,3 32)时3 3cos,362;(2)由图知222TAC,122ABCSAC,设,A B的横坐标分别为,a b. 设曲线段ABC与 x 轴所围成的区域的面积为S则( )( )sin()sin()2bbaaSfx dxf xab,由几何概型知该点在ABC内的概率为224ABCSPS. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点 P在图像上求,(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得. 16. 设N=2n(nN*,n 2) ,将 N 个数 x1,x2, ,, xN依次放入编号为1,2 ,,,N的 N 个位置,得到排列P0=x1x2, xN. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前2N和后2N个位置,得到排列P1=x1x3, xN-1x2x4,xN,将此操作称为 C 变换,将 P1分成两段,每段2N个数,并对每段作C 变换,得到2p;当 2i n-2 时,将 Pi分成 2i段,每段2iN个数,并对每段 C变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8时, P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7位于 P2中的第 4 个位置 . (1)当 N=16时, x7位于 P2中的第 _个位置;(2)当 N=2n(n8)时, x173位于 P4中的第 _个位置 . 【答案】(1)6; (2)43 211n【解析】(1)当 N=16时, 012345616Px x x x x xx,可设为(1,2,3,4,5,6,16), 113571524616Px x x xx x x xx, 即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,16), 2159133711 152616Px x x x x x x x x xx, 即(1,5,9,13,3,7,11 ,15,2,6,16), x7位于 P2中的第 6 个位置 , ;(2)方法同( 1), 归纳推理知 x173位于 P4中的第43211n个位置 . 【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 三、解答题:本大题共6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量1至 4件5 至 8 件9 至 12 件13至16件17件 及 以上- 8 - 顾客数(人)x30 25 y10 结算时间(分钟 /人)1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中的一次购物量超过8 件的顾客占 55. ()确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;()若某顾客到达收银台时前面恰有2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率 . (注:将频率视为概率)【解析】(1)由已知 , 得251055,35,yxy所以15,20.xy该超市所有顾客一次购物的结算时间组成
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