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2015 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷(2)数学(理工类)(北京卷)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,第I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 9 页,共150 分。考试时间120 分钟。考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷(选择题共40 分)注意事项:1答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。一、本大题共8 小题每小题5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. ( 1)设全集U=R,集合 M= x| x1,P= x| x21 ,则下列关系中正确的是(A)MP(B)PM(C)MP( D)UMPe( 2) “m=21”是“直线 (m+2)x+3my+1=0 与直线 (m2)x+(m+2)y3=0 相互垂直”的(A)充分必要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件( 3)若| 1,| 2,abcab,且ca,则向量a与b的夹角为(A) 30(B)60( C)120( D) 150( 4)从原点向圆x2y212y 27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(A)(B)2 (C)4(D)6(5)对任意的锐角 ,下列不等关系中正确的是(A) sin( + )sin +sin(B)sin( + )cos +cos(C)cos( + )sin sin (D)cos( + )0;1212()()()22xxf xf xf. 当 f(x)=l gx 时,上述结论中正确结论的序号是. (14)已知 n 次多项式1011( )nnnnnP xa xa xaxa, 如果在一种算法中,计算0kx(k2,3,4, , , n)的值需要k1 次乘法,计算30()P x的值共需要9次运算( 6 次乘法, 3 次加法),那么计算0()nP x的值共需要次运算下面给出一种减少运算次数的算法:0011( ),( )( )kkkP xaPxxP xa(k0, 1,2, , , n1) 利用该算法,计算30()P x的值共需要6 次运算,计算0()nP x的值共需要次运算第 3 页 共 10 页三、解答题:本大题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(15) (本小题共13 分)已知函数f(x)=x33x2 9xa, ( I)求 f(x)的单调递减区间;( II)若f(x)在区间 2, 2上的最大值为20,求它在该区间上的最小值(16) (本小题共14 分)如图 , 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,ABAD2,DC 23,AA13,ADDC,ACBD, 垂足未 E,( I)求证: BDA1C;( II)求二面角A 1BD C 1的大小;( III )求异面直线AD 与 BC 1所成角的大小(17) (本小题共13 分)甲、乙两人各进行3 次射击,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率32,( I)记甲击中目标的次数为 ,求 的概率分布及数学期望E ;( II)求乙至多击中目标2 次的概率;( III )求甲恰好比乙多击中目标2 次的概率(18) (本小题共14 分)如图,直线l1:ykx(k0)与直线l2:y kx 之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半部分记为W1,右半部分记为W2( I)分别用不等式组表示W1和 W2;( II)若区域W 中的动点P(x, y)到 l1,l2的距离之积等于d2,4 求点 P 的轨迹 C 的方程;( III )设不过原点O 的直线 l 与( II)中的曲线C 相交于 M1,M2两点,且与l1,l2分别交于M3,M4两点求证 OM1M2的重心与 OM3M4的重心重合(19) (本小题共12 分)设数列 an的首项 a1=a41,且11为偶数21为奇 数4nnnanaan, 记2114nnba,n l,2,3,, (I)求 a2,a3;(II)判断数列 bn是否为等比数列,并证明你的结论;(III )求123lim()nnbbbb(20) (本小题共14 分)设 f(x)是定义在 0, 1上的函数,若存在x* (0,1),使得 f(x)在0, x*上单调递增,在x* ,1上单调递减,则称f(x)为0, 1上的单峰函数,x* 为峰点,包含峰点的区间为含峰区间对任意的 0,l上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法( I)证明:对任意的x1,x2(0,1),x1x2,若 f(x1)f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)f(x2),则 (x*,1)为含峰区间;( II)对给定的r(0r0.5) ,证明:存在x1, x2 (0,1),满足 x2 x1 2r,使得由( I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5r;( III )选取 x1,x2 (0, 1),x1x2,由( I)可确定含峰区间为(0,x2)或 (x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由 x3与 x1或 x3与 x2类似地可确定一个新的含峰区间在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定 x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34. (区间长度等于区间的右端点与左端点之差)第 5 页 共 10 页2005 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类) (北京卷)参考答案一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分)(1) C(2)B(3) C(4)B(5)D ( 6)C (7)A( 8)A二、填空题(本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分)(9)38(10)34;71( 11)15 ( 12)(1, e);e(13)(14)21n(n3);2n三、解答题(本大题共6 小题,共80 分)(15) (共 13 分)解: (I) f (x) 3x26x9令 f (x)0,解得 x3,所以函数f(x)的单调递减区间为(,1) , (3,)(II)因为 f(2)81218a=2 a,f(2) 81218a22a,所以 f(2)f(2)因为在( 1,3)上 f (x)0,所以 f(x)在1, 2上单调递增,又由于f(x)在2,1上单调递减,因此f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间 2, 2上的最大值和最小值,于是有22a20,解得a 2故 f(x)=x33x29x2,因此 f(1) 1392 7,即函数 f(x)在区间 2,2上的最小值为7( 16) (共 14 分)( I)在直四棱柱ABCDAB1C1D1中,AA1底面 ABCD AC 是 A1C 在平面 ABCD上 的 射影BDAC BD A1C;( II)连结 A1E,C1E,A1C1与( I)同理可证BDA1E,BDC1E, A1EC1为二面角A1BDC1的平面角AD DC,A1D1C1=ADC90,又 A1D1=AD2,D1C1= DC23,AA1=3且 ACBD,6 A1C14,AE1,EC3, A1E2,C1E23,在 A1EC1中, A1C12A1E2C1E2, A1EC190 ,即二面角A1BDC1的大小为90 ( III )过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F,连结 FC1,则 C1BF 就是 AD 与 BC1所成的角ABAD2, BDAC,AE 1, BF=2,EF1,FC2,BCDC, FC1=7,BC115,在 BFC1 中,1154715cos51 215C BF, C1BF=15arccos5即异面直线AD 与 BC1所成角的大小为15arccos5第 7 页 共 10 页(17) (共 13 分)解: (I)P( 0)03311()28C,P( 1)13313()28C,P( 2)23313( )28C,8 P( 3)33311( )28C, 的概率分布如下表:E 133101231.58888, (或 E =321=1.5) ;( II)乙至多击中目标2 次的概率为13332()3C=1927;( III )设甲恰比乙多击中目标2 次为事件A,甲恰击中目标2 次且乙恰击中目标0 次为事件B1,甲恰击中目标3 次且乙恰击中目标1 次为事件B2,则 AB1B2,B1,B2为互斥事件12311 21( )()()8 278 924P AP BP B所以,甲恰好比乙多击中目标2 次的概率为124. (18) (共 14 分)解: (I)W1=( x, y)| kxykx, x0 ,W2=( x, y)| kxy0 ,(II)直线 l1:kxy0,直线 l2:kxy0,由题意得222| |11kxykxydkk, 即22222|1k xydk,由 P(x, y)W,知 k2x2y20,所以222221k xydk,即22222(1)0k xykd, 所以动点P的轨迹 C 的方程为22222(1)0k xykd;( III )当直线l 与 x轴垂直时,可设直线l 的方程为 xa(a0) 由于直线l,曲线 C 关于 x 轴对称,且l1与 l2关于 x 轴对称,于是M1M2,M3M4的中点坐标都为(a,0) ,所以 OM1M2, OM3M4的重心坐标都为(32a,0) ,即它们的重心重合,当直线 l1与 x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y=mx+n(n0) 由22222(1)0k xykdymxn,得2222222()20kmxmnxnk dd由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,可知k2m20 且0 1 2 3 P81838381第 9 页 共 10 页=2222222(2)4()()mnkmnk dd0 设 M1,M2的坐标分别为(x1, y1),(x2, y2),则12222mnxxkm, 1212()2yym xxn, 设 M3,M4的坐标分别为(x3, y3),(x4, y4),由及ykxykxymxnymxn得34,nnxxkmkm从而3412222mnxxxxkm,所以 y3+y4=m(x3+x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2, 于是 OM1M2的重心与 OM3M4的重心也重合(19) (共 12 分)解: (I)a2a1+41=a+41,a3=21a2=21a+81;(II)a4=a3+41=21a+83, 所以 a5=21a4=41a+316, 所以 b1=a141=a41, b2=a341=21(a41), b3=a541=41(a41), 猜想: bn是公比为21的等比数列 证明如下:因为 bn+1a2n+141=21a2n41=21(a2n141)=21bn, (n N*) 所以 bn 是首项为a41, 公比为21的等比数列 (III )11121(1)12lim()lim2()1141122nnnnbbbbba. (20) (共 14 分)(I)证明:设x*为 f(x) 的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在0, x* 上单调递增,在x*, 1 上单调递减当 f(x1)f(x2)时,假设x*(0, x2),则 x1x2f(x1),这与 f(x1)f(x2)矛盾,所以x* (0, x2),即 (0, x2)是含峰区间 . 当 f(x1)f(x2)时,假设x*( x2, 1),则 x* x1f(x2),10 这与 f(x1)f(x2)矛盾,所以x* (x1, 1),即 (x1, 1)是含峰区间 . ( II)证明:由(I)的结论可知:当 f(x1)f(x2)时,含峰区间的长度为l1x2;当 f(x1)f(x2)时,含峰区间的长度为l2=1x1;对于上述两种情况,由题意得210.510.5xrxr由得1x2x11+2r,即 x1x12r. 又因为 x2x12r,所以 x2x1=2r, 将代入得x10.5r, x20.5r,由和解得x10.5r, x20.5r所以这时含峰区间的长度l1l10.5r,即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于
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