希望杯竞赛数学试题详解(91-100题) 高中数学希望杯典型例题100道（91-100）题91 三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D =?，为底面ABC 内的一点，45,60APD BPD =?=?，则CPD 的余弦值为_.（第九届高一第二试第20题）解法1 设D 在PA PB PC 、三边上的投影分别是E F G 、，则由于45,APD =?60BPD =?，1cos 45,cos 60.2PE PD PD PF PD PD =?=?= 2222,PE PF PG PD += 12PG PD =，即60CPD =?，它的余弦值为12.解法2 如图1，以P A P B P C、为棱，PD 的延长线为对角线长作长方体AFCP GEHB -，设,45,.PA x APD PA AE AE PA x =?= 又设,PB y = 60,BPD PB BE =?2,cos 45PAPE y =?222.x y PC GE =在Rt PEC ?中，1cos ,2PCCPE PE = 即CPD 的余弦值为12. 解法3 如图2，过D 作平面垂直于PD ，分别交PA PB PC 、于A B C 、，由已知有90,A PB B PC C PA C P =?平面,PA B A B ?平面PA B ，,C P A B 从而A B 平面PDC ，连结C D 并延长交A B 于E ，连结PE ,显然有,.A B PE A B C E 连结A D、B D.不妨设1,PD =45A P D A P D =?902.PD A A P =?=又B PD BPD=60,=?90,PDB =? 2.PB =在Rt A B P ?中，A B =由,PE A B A P B P ?=?得图1ABD CP F G EH PABCDEACB图2A PB P PE A B ?=ED =于是1tan tan 60,cos cos .2PD DPC PED DPC CPD DPC ED =?= 评析 由已知条件画出的图形，CPD 的余弦值可在CPD ?中由余弦定理求得，然而，三边都不知道，这就是本题的难点之所在.如何突破？解法2根据已知90APB BPC CPA =?这一特点，将已知三棱锥补成长方体，这样就有45,60cos .CPAPD APE BPD BPE CPD CPE CPD PE=?=?=，问题归结为解直角三角形，这就容易多了.解法3则通过过D 作平面与PD 垂直，从而使得APD （即A PD ）、BPD （即B PD ）、及CPD （即C PD ）都成为直角三角形的一个内角，同样起到了化难为易的作用.解法1中用到结论2222PE PF PG PD +=,其依据是：PD 恰为以PE PF PG 、为棱的长方体的对角线.拓展 因为222211cos cos 45,cos cos 60,24APD BPD =?=?=又知结论 1cos 2CPD =，即21cos 4CPD =，所以有222cos cos cos 1APD BPD CPD +=，将三个角一般化，我们可得定理 三棱锥P ABC -中，90,APB BPC CPA D =?为底面ABC 内的一点，PD 与PA AB PC 、所成的角分别是、，则222cos cos cos 1.+=简证 如图1，222222cos cos cos PA PB PC PD PD PD ?+=+ ? ? ?2222PA PB PC PD += 221.PD PD=推广 P A P B P C 、是两两垂直的三条射线，PD 与PA PB PC 、所成的角分别是、，则222cos cos cos 1.+= 题92 有一个侧棱都是l 的三棱锥，顶点处的三个面角中，有两个都是，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）解 设所给的棱锥是=-ASB ASC l SC SB SA ABC S ,（定值），x BSC =（变量），以BSC ?所在平面为底面，作AO 底面于O ，作SB OD 于D ，连结AD .（如图）由三垂线定理，SB AD ,于是c o s c o s ?=?=l A S D SA SD .=AO BSA ASC , 面BSC ，O 在BSC 的平分线上.2,xOSD x BSC = . ,OD SB cos cos cos 2SD l SO x OSD ?=，于是2cos cos 12cos cos 22222222x l x l l SO SA AO -?=?-=-=.又BSC ?的面积=?=,s in 21s in 212x l B S C SB SC P 三棱锥BS C A -的体积2sin cos 4sin 612cos cos 1sin 61312223223xx l x x l AO P V ?-=-?=?=. 设)0(2sin 2=y y x，则根号内的这部分可以表示为222sin 44)(cos 4)1(4)(y y y y y y f +-=-=，当2sin )4(2sin 422=-=y 时，)(y f 最大，同时V 也最大.2sin ,2sin 22=y x y ，即2,2s i n 2s i n 22x x =是锐角，2sin arcsin2,2sin arcsin 2,2sin 2sin),0(=x x x . 答：当2sin arcsin2=x 时，V 最大.评析 这是一道立几、函数综合题，涉及的知识面广，方法多.破解此题的关键，一是把A 看成顶点，把面SBC 看成底面；二是写出函数关系式)(x f V =；三是求V 的最值.把A 看成顶点后，x l S h S V SBC SBC sin 21,312=?=?是显然的，关键是如何将高h 用x 表示.而要解决这个问题，必须知道由ASC ASB =，可得到AS 在底面BSC 上的射影是BSC 的平分线这一重要结论（立几中常常用到这一结论）.另外，作SB OD ，由三垂线定理得SB AD ，这就沟通了AO 与x l ,之间的关系，使得AO 用x l ,表示成为可能.求得的2sin cos 4sin 612223xx l V -=是较复杂的，如何求其最值也是问题之一.分析出SABCDO只需求2s i nc o s 4s i n )(222xx x g -=的最值是一个进步；将其变形为2sin cos 4)2sin 1(2sin 4)(2222x x x x g -=又是一个进步.接着换元，令y x=2sin 2，得22s in 44)()(y y y f x g +-=，这是一个二次函数在(0,1)上的最值问题，太熟悉了，于是大功告成.其答案也可表示成2sin 2arccos 22-或2sin 2sin arctan 2-.该题重点考查了转化问题的能力，综合运用多种知识解决问题的能力.题93 设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面分别交于P,Q,R 三点，若正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR +的长.（第十二届高一培训题第81题）解 如图，过M 作MD BC 于D ，作ME AC 于E ，作M F A B于F ，连结P D ,Q E ,R F .显然PDM 、QEM 、RFM 都等于这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角，MP MQ MR MDtan ME tan +=+MFtan (MD ME MF)tan +=+.易知M D M E +为底面正三角形的高h ，因为正三棱锥高为h 2=，所以有h t a n 1h 3=，h tan 3h =6，即MP MQ MR 6+=.评析 首先用特殊点指明解题方向：由于M 是正ABC ?内的任意一点，故不妨使其为正ABC ?的中心，则此时的P,Q,R 与正三棱锥的顶点S 重合，从而MP MQ MR +为正在棱锥高的3倍，也就是6.若将此题改为选择题，则已可选出正确答案.然而，这是解答题，又该如何求呢？解决此题遇到的第一个难点就是正确地画出图形.图画出后的关键问题是如何利用正三棱锥这一条件，由于MP MQ MR +都垂直于底面，且P,Q,R 分别在三个侧面内，故分别过P,Q,R 在三个侧面内作底边的垂线PD,QE,RF ，则MD,ME,MF 为三条射影.由正三棱锥，可知PDM QEM RFM =，则MP MQ MR (MD ME MF)tan +=+.运用正三角P QAESMF D BCR形内任一点到三边距离之和为其一边上的高，设MD ME MF h +=，正三棱锥的高为h 2=，则h tan 1h 3=，这就得到MP MQ MR 3h +=6.这里，发现h tan 1h 3=也是解决问题的关键之一，它将三棱锥的高h 2=与MD ME MF +，进而与MP MQ MR +建立了联系，从而最终解决了问题.拓展 此题就是下面定理的特殊情形.定理 若M 是高为h 的正三棱锥S ABC -的底面内的任意一点，过M 引底面的垂线与该棱锥的三个侧面所在平面分别交于P,Q,R 三点，则MP MQ MR 3h +=.证明留给读者.题94 There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), Ne