2022 年中考数学二轮复习压轴专题：三角形1在ABC中，BAC45，CDAB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点） ，点N在直线AC左上方且NCM135，CNCM，如图（1）求证：ACNAMC（2）记ANC得面积为 5，记ABC得面积为 5求证：（3）延长线段AB到点P，使BPBM，如图探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，ANCP始终成立？（写出探究过程）解： （1）BAC45，AMC 18045ACM135ACM，NCM135，ACN135ACM，ACNAMC；（2）过点N作NEAC于E，CENCDM90，ACNAMC，CMCN，NECCDM（AAS）NECD，CEDM；S1ACNE，S2ABCD，；（3）当AC2BD时，对于满足条件的任意点N，ANCP始终成立，理由如下：过点N作NEAC于E，由（2）可得NECD，CEDM，AC2BD，BPBM，CEDM，ACCEBD+BDDMAEBD+BPDP，NECD，NEACDP90，AEDP，NEACDP（SAS）ANPC2如图 1，OA2，OB4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC（）求C点的坐标；（）如图 2，OA2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角APD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值；（）如图 3，点F坐标为（4，4） ，点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FHFG，求m+n的值解： （）如图 1，过C作CMx轴于M点，如图 1 所示：CMOA，ACAB，MAC+OAB90，OAB+OBA90，MACOBA，在MAC和OBA中，MACOBA（AAS） ，CMOA2，MAOB4，OM6，点C的坐标为（6，2） ，故答案为（6，2） ；（）如图 2，过D作DQOP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，DEOQ，APO+QPD90，APO+OAP90，QPDOAP，在AOP和PDQ中，AOPPDQ（AAS） ，AOPQ2，OPDEOPOQPQOA2；（）如图 3，过点F分别作FSx轴于S点，FTy轴于T点，则HSFGTF90SOT，四边形OSFT是正方形，FSFT4，EFT90HFG，HFSGFT，在FSH和FTG中，FSHFTG（AAS） ，GTHS，又G（0，m） ，H（n，0） ，点F坐标为（4，4） ，OTOS4，GT4m，HSn（4）n+4，4mn+4，m+n83如图 1，点C在线段AB上， （点C不与A、B重合） ，分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：线段AE与BD的数量关系为AEBDAPC的度数为60（2）数学思考：如图 2，当点C在线段AB外时， （1）中的结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图 3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中ACDBCE90，CACD，CBCE，连接AEBD交于点P，则线段AE与BD的关系为AEBD，AEBD解： （1）观察猜想：如图 1，设AE交CD于点O过点C作CHAE，CGBD，ADC，ECB都是等边三角形，CACD，ACDECB60，CECB，ACEDCB，ACEDCB（SAS） ，AEBD，CAOODP，SACESBCD，AOCDOP，DPOACO60，APB120，SACESBCD，AECHBDCG，CHCG，且CHAE，CGBD，CP平分APB，APC60，故答案为AEBD，60（2）数学思考： ：成立，不成立，理由：设AC交BD于点O过点C作CHAE，CGBD，ADC，ECB都是等边三角形，CACD，ACDECB60，CECB，ACEDCBACEDCB（SAS） ，AEBD，PAOODC，AOPDOC，APODCO60，DPE120，SACESBCD，AECHBDCG，CHCG，且CHAE，CGBD，CP平分DPE，DPC60，APC120，成立，不成立；拓展应用：设AC交BD于点OACDBCE90，CACD，CBCE，ACEDCBAECDBC（SAS） ，AEBD，CDBCAE，AOPCOD，CDBCAE，DCOAPO90，AEBD，故答案为：AEBD，AEBD4如图，ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个 120的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点以点D为中心旋转MDN（MDN的度数不变） ，当DM与AB垂直时（如图所示） ，易证BM+CNBD（1）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CNBD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CNBD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明解： （1）结论BM+CNBD成立，理由如下：如图，过点D作DEAC交AB于E，ABC是等边三角形，ABC60，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等边三角形，EDC120，BDBEDE，EDN+CDN120，EDM+EDNMDN120，CDNEDM，D是BC边的中点，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA） ，CNEM，BDBEBM+EMBM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BMCNBD；理由如下：如图，过点D作DEAC交AB于E，ABC是等边三角形，ABC60，NCD120，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等边三角形，MEDEDC120，BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM120，CDN+CDMMDN120，CDNEDM，D是BC边的中点，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA） ，CNEM，BDBEBMEMBMCN，BMCNBD5ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BPBA，0PBC180，DB平分PBC，且DBDA（1）当BP与BA重合时（如图 1） ，求BPD的度数；（2）当BP在ABC的内部时（如图 2） ，求BPD的度数；（3）当BP在ABC的外部时，请你直接写出BPD的度数解： （1）ABC是等边三角形，BD平分PBC，PBDCBD30，DBDA，PBDBPD30；（2）如图 2，连接CD，点D在PBC的平分线上，PBDCBD，ABC是等边三角形，BABCAC，ACB60，BPBA，BPBC，BDBD，PBDCBD（SAS） ，BPDBCD，DBDA，BCAC，CDCD，BCDACD（SSS） ，BCDACDACB30，BPD30；（3）如图 3，连接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD30，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD30，如图 4，连接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD30，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD30，如图 5，连接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD150，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD150，6在ABC中，ACBC，ACB90，D为AB边的中点，以D为直角顶点的 RtDEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上（1）如图 1，若 RtDEF的两条直角边DE，DF与ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则SDEF+SCEFSABC，求当SDEFSCEF2 时，AC边的长；（2）如图 2，若 RtDEF的两条直角边DE，DF与ABC的两条直角边AC，BC不垂直，SDEF+SCEFSABC， 是否成立？若成立， 请给予证明； 若不成立， 请直接写出SDEF，SCEF，SABC之间的数量关系；（3）如图 3，若 RtDEF的两条直角边DE，DF与ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上， 点F在CB的延长线上，SDEF+SCEFSABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出SDEF，SCEF，SABC之间的数量关系解： （1）ACB90，DEAC，DFBC，四边形DECF是矩形，ACB90，BCAC，DEAC，DEBC，D为AB边的中点，DE是ABC的中位线，DEBC，AC2CE，同理：DFAC，ACBC，DEDF，四边形DECF是正方形，CEDFCFDE，SDEFSCEF2DEDFDF2，DF2，CE2，AC2CE4；（2）SDEF+SCEFSABC成立，理由如下：连接CD；如图 2 所示：ACBC，ACB90，D为AB中点，B45，DCEACB45，CDAB，CDABBD，DCEB，CDB90，SABC2SBCD，EDF90，CDEBDF，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA） ，DEDFSCDESBDFSDEF+SCEFSCDE+SCDFSBCDSABC；（3）不成立；SDEFSCEFSABC；理由如下：连接CD，如图 3 所示：同（1）得：DECDBF，DCEDBF135，SDEFS五边形DBFEC，SCFE+SDBC，SCFE+SABC，SDEFSCFESABCSDEF、SCEF、SABC的关系是：SDEFSCEFSABC7教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第 94 页的部分内容2线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等已知：如图，MNAB，垂足为点C，ACBC，点P是直线MN上的任意一点求证：PAPB分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PAPB定理证明：请根据教材中的分析，结合图，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程定理应用：（1）如图，在ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O过点O作OHAB于点H求证：AHBH（2）如图，在ABC中，ABBC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E若ABC120，AC15，则DE的长为5解：定理证明：MNAB，PCAPCB90又ACBC，PCPC，PACPBC（SAS） ，PAPB定理应用： （1）如图 2，连结OA、OB、OC直线m是边BC的垂直平分线，OBOC，直线n是边AC的垂直平分线，OAOC，OAOBOHAB，AHBH；（2）如图中，连接BD，BEBABC，ABC120，AC30，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，DADB，EBEC，ADBA30，CEBC30，BDEA+DBA60，BEDC+EBC60，BDE是等边三角形，ADBDDEBEEC，AC15AD+DE+EC3DE，DE5，故答案为：58如图，在ABC中，ABAC，以BC为直角边作等腰 RtBCD，CBD90，斜边CD交AB于点E（1）如图 1，若ABC60，BE4，作EHBC于H，求线段BC的长；（2）如图 2，作CFAC，且CFAC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD2BF解： （1）ABC60，EHBC，BEH30，BE2BH4，EHBH，BH2，EH2，CBD90，BDBC，BCD45，且EHBC，BCDBEC45，EHCH2，BCBH+HC2+2；（2）如图，过点A作AMBC，ABAC，AMBC，BMMCBCDB，DCB45，AMBC，DCBMNC45，MNMCBD，AMDB，CNMCBD，CD2CN，ANBD，CFAC，BCD45，ACD+BCF45，且ACD+MAC45，BCFMAC，且ACCF，BCAN，ACNCFB（S