高三复习案例之导数及其应用汤洪舟知识与方法1. 导数的几何意义函数/(X)在点勺处的导数f仇)的儿何意义是曲线在点P(xo,.心)处的切线的斜率.2. 利用导数判断函数的单调性设两数./U)在区间(G)内可导，且/(X)在(G)任意子区间内都恒不等于0,则/ (X)0 O/U)为增函数，f (QWOO/U)为减函数.3. 利用导数求函数的极值与最值(1) 求函数极值的步骤是： 求导数f(X)； 求方程f (x)=0的根； 检验/ (x)在方程根左、右侧的符号，如果左正右负，那么.心)在这个根处取极人值; 如果左负右正，那么y(x)在这个根处取极小值.(2) 求函数在0,川上的授值步骤是： 求函数/(X)在(q, b)内的极值； 求/(X)在区间端点的函数值加)，.)； 将函数心)的各极值与加)，貳方)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小 值.特别地，极值唯一时，极值就是最值.易错题再现1. 设函数沧)=/+仮一2在区间(1,+-)是增函数,则实数a的取值范围是.2若函数/(x) =x3+mx + +6在R上有极值，则实数tn的取值范围是.3已知曲线尹=卜+专，则曲线过点(2,4)的切线方程为.4. 已知函数/(X)=67%3 -3x2 4-1 ,若/(x)存在唯一的零点兀0 ,且x0 0,则a的取值 范围为()A . (2, +8) B .(8, -2) C. (1, +) D.(8, -1)5若函数尹=心)在R上可导，口满足不等式h (x)-Ax)恒成立，几常数a, b满足 ab,则下列不等式一定成立的是 ()A. ajb)bfa)B. aja)bj(b) C. afa)bjb)D. aj(b) 0)(I ) a-e时，求/(x)在x = 1处的切线方程；(II)若f(x)0且。工1),如果函数.心)在区间(一*, 0)内单调递增，那么G的取值范围是2.已知函数 f(x) = -x3 + x2+ax.3(1) 若/(兀)在区间1,+8)单调递增，求a的最小值；Y11(2) 若g(x) = ,对 VXj g,2,3x2 e,2,使/r(Xj) g(x2)成立，求a 的范围.e22例1 已知函数夬x)的导函数f (x)=a(x+l)(x-a),若沧)在兀处取到极大值,则a的取值范围是2.已知函数/(x) = anx-兀2.(1) 当c = 2时，求函数= /(x)在*,2上的最大值；(2) 令g(兀)= /(兀)+俶，若y = g(x)在区间(0,3)上不单调，求Q的取值范围；热点4导数的综合应用例：己知函数/(x)=ev(其中c为自然对数的底数)，g(x)=x+m(mf nR).若 心)=/U)g(x),加=1一号，求心)在0,1上的最人值；(2) 若乃=4时方程/(x)=g(x)在0,2上恰有两个相异实根，求m的取值范围；(3) 若加=寻，z?WN*,求使./(X)的图象恒在g(x)图象上方的最人正整数”.注意：7e2 热点5导数在实际问题中的应用例：请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为6() cm的正方形fi更纸片，切去 阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点垂合于图 中的点P，正好形成一个止四棱柱形状的包装盒，E、F在AB 是被切去的等腰直角三角 形斜边的两个端点，设/E=FB=x(cm)若广告商要求包装盒的侧而积S(cn?)最大，试问x应取何值？(2)若广告商要求包装盒的容积K(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.消化与落实1. 已知函数p=/U)(xUR)上任一点(xo,.心。)处的切线斜率k=(x。一3)(牝+1)2，则该函数的单调递减区间为2. 已知函数./(x)的图象过点(0, -5),它的导数f (x)=4x3-4x,则当心)取得最大值一5时，x的值应为3. 设 mER,已知函数 /(X)=x3 Imx1+(1 hn)x+3m2,若曲线 y=f(x)在 x=0处的切线恒过定点P,则点F的坐标为4. 设P是函数尹=&(兀+1)图彖上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则&的取值范围是.5已知a, b为正实数，函数.心)=0? +加+2在0,1上的最大值为4,则沧)在一 1,0上的最小值为6. 己知函数尹=心)在点(2, /(2)处的切线方程为y=2x,则函数g(x)=x2+J(x)在点(2, g(2)处的切线方程为尹=.7. 若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值，则称xo为函数y=Ax)的极值点.已知q, b是实数，1和一1是函数x)=x3+ax2 + bx的两个极值点.(1)求q和b的值；设函数g(x)的导函数g (x)=/(x)+2,求g(x)的极值点；设/?a)=A心)一c,其中胆 2,2,求函数y=/?(x)的零点个数.灵活与挑战 己知a为常数，函数/(x) = x(lnx-67x)有两个极值点xiyx2(x x2),贝i()A.B. /()0,/(%2) 0,/(x2) _D. ) _