精锐教育高三复习辅导讲义抛物线综合复习1、知道抛物线的定义、标准方程、几何图形、简单几何性质;2、能解决直线与抛物线的位置关系等问题；3、理解数形结合思想知识梳理（1）抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。定点F叫 做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线。方程y抛物线的儿何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线; 注意强调的儿何意义：是焦点到准线的距离。 =2px （0）叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F （,0）,它的准线方程是x =-匕:2 2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他儿种形式：y2 =-2px, x2 =2py, x2 =-2py.&四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:标准方程)，=2 px(P0)2 = -2 px(P0)x2 = 2 py(P0)x2 = -2 py(P0)图形1h齐斗焦点坐标($0)2(-，0)2(0,#)（0,诗）准线方 程x = -P2x=P22范围x0x0y0）的焦点F的直线与抛物线相交于H、N两点，自1、N向准线L作垂线，垂足分别为加、N. 求证：FM】丄FN；记1呗、FMN、AFN N,的面积分别为SW,试判断S22=4S,S3是否成立，并证明你的结论。1yfN、O例2已知点, B（x2fy2） （x,x2O）是抛物线y2 =2px（/?0）上的两个动点，0是坐标原点，向量04，西满足 oa+ob=oa-ob 圆C的方程为午+），2-（召匕2）（），1+），2）=0证明线段AB是圆C的直径；当圆c的圆心到直 2-x/s线X-2Y二0的距离的最小值为土 时，求P的值。5例3己知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y 2 =2兀上，其中0为坐标原点，设岡C是OA B的外接岡（点C为岡心）求岡C的方程；设圆M的方程为(x_4_7cos0)2+(y_7sin&)2=l，过圆M上任意一点P分别作圆C的切线PE PF ,切点为E, F, 求远乔 的最大值和最小值.二、基础训练(一)1、准线方程为% = 2的抛物线的标准方程是2、过点(1,-2)的抛物线的标准方程是3、已知抛物线y2 =4x一点到焦点的距离为5,则该点的坐标为4、抛物线y2=2px(p0). 一点M到焦点的距离是a a匕，则点M到准线的距离是, 2丿点M的横坐标是5、设抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴且焦点在直线x-2y-4 = 0,求抛物线的标准方程。6、抛物线/=-2px(p0)一点M的横坐标为-9,它与焦点的距离为10,求抛物线的方程和M点的坐标。7、已知抛物线的焦点和双曲线32 -= 1的一个焦点重合，求抛物线的标准方程。8、求抛物线y二-x2的点到直线4x + 3y= 0距离的最小值9、已知抛物线的顶点在椭圆4x2 + /=12的中心，对称轴为坐标轴，且抛物线的准线方程恰好过椭圆的焦点, 求抛物线的方程基础训练（二）1、抛物线y2 = 6x的准线方程为2、若抛物线y = cix2的准线方程为y = 2,则。=3、过点（-2,-4）的抛物线的标准方程是4、设抛物线的顶点坐标为（2,0）,准线方程为x = - ,则它的焦点坐标为5、设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，且抛物线上的点P（k,-2）到点F的距离为4,则鸟=6、抛物线的顶点在原点，准线垂直于兀轴，且焦点到顶点距离为4,则其方程为7、动点P到点4（0,2）的距离比到直线/:），= -4的距离小2,则动点P的轨迹方程是8、若抛物线b=2px（p0）过点A（8,-8）,求点A与抛物线焦点的距离9、抛物线y2=-2x（p0）的一点M的横坐标为-9,它与焦点的距离为10,求抛物线的方程和M点的 坐标。10、在平面直角坐标系xoy中，抛物线c的顶点在原点，经过点A （2, 2）, Jt焦点F在兀轴上。求抛物线c的标准方程；求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程；设过点M（加,0）（加0）的直线交抛物线C 丁D、E两点，ME二2DM,记D和E两点间的距离为/（加），求/（加）关于加 的表达式。11、如图，已知点F(1,O),直线/：% = -! , P为平面上的动点，过戶作直线/的垂线，垂足为点Q,且QPQF = FPFQ.求动点P的轨迹C的方程；过点F的直线交轨迹C于A, B两点,交肖线/于点M,若祐二&乔，砺二入丽，求入+ &的值；1kF1 -10112、如图,三定点 A(2,l),B(0,1),C(2,1);三动点 D,E,M 满足AD=tAB,BE =t BC, DM=t DE?trOJ.求动直线DE斜率的变化范围；求动点 M的轨迹方程.13、如图，倾斜角为的直线经过抛物线y2 =8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。求抛物线的焦点F的坐标及准线/的方程；若d为锐角，作线段AB的垂直平分线加交a轴丁点P,证明：|FP|-|FP|cos20时，尸一厂一4 = 0,解得，人= 十乎 ,厂？=上斗辽(舍 去)，当yvO时，r2+r-4 = 0,解得，r, =z!ll ,入=土01 (舍去).所以圆的半径是上2 2 2戒-1 + V172例2、己知：在平面直角坐标系x()y中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线y = ax2 +bx + c经过()、 A两点。试用含a的代数式表示b；设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优 弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在OD内，它所在的圆恰与0D相切，求OD半径的长及抛物线的 解析式；设点B是满足中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得 ZPOA = -ZOBA ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。3y(1) 解法一：一次函数|的图象与X轴交于点A 点A的坐标为(4,0)7抛物线y = ax2 -Vbx-c经过 0、A 两点c = 0,16a + 4b = 0 .b = -4a解法二：一次苗数的图象与X轴交于点A 点A的坐标为(4, 0) 抛物线y = ax2+bx + c经过0、A两点.抛物线的对称轴为5线(2)解：由抛物线的对称性可知,D0=DA：点0在OD,且ZD0A=ZDA0 乂由(1)知抛物线的解析式为点D的坐标为()当时,劣弧为OmA ,它沿x轴翻折后所得为弧为显然Q所在的圆MOD关于x轴对称，设它的圆心为I)点iy与点d也关于x轴对称点 0 在 ODJ,且 0D 与 0D相切 :点 0 为切点 0D AZDOA=ZD，0A=45 A A AD 0 为如图1,设。D被x轴分得的等腰育角三角形 -4a = -2:点D的纵坐标为A a = , b = -4a = 2 2抛物线的解析式为y = x2 一 2x当时,同理可得：OD = 22抛物线的解析式为y = -x2 + 2x综上，OD半径的长为,抛物线的解析式为或（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P,使得ZPOA = -ZOBA 设点P的坐标为（x, y）,且y0 3当点P在抛物线上时（如图2）点B是OD的优弧上的一点x ZPOA = -ZOBA = 60过点P作PE丄x轴于点EEP:.tan Z POE =0E y = y/3xy = V3x1 . 解得: y = x2 -2x2（舍去）点P的坐标为(4 + 2屁+ 4妈当点P在抛物线上时（如图3）同理可得,3解得：.Vi= 4-273 p2 =0 =-6+ 4巧 1歹2 = (舍去)点P的坐标为(4-273,-6 + 473)综上，存在满足条件的点P,点P的坐标为(4 + 23,6十4巧)或(4一 2J亍,一6 + 4丿亍)直线与抛物线位置关系：例1 己知抛物线C：砂(p0)上一点A(mA)到英焦点的距离为1L 求p与加的值；设抛物线C上一点P的横4坐标为r (r 0),过P的直线交C于另一点Q,交x轴于点M,过点Q作PQ的垂线交C于另一点N .若是C的 切线，求/的最小值.例2、如图，在直角坐标系中，oca原点0,交X轴于点A (2, 0),交y轴于点B (0, 2弟)。圆心的坐标； 抛物线y = ax+bx+c过()、A两点，且顶点在正比例函数x的图彖上，求抛物线的解析式; 圆心C作平行于x轴的直线DE,交OC于D、E两点，试判断D、E两点是否在中的抛物线上;(4) (4)若中的抛物线上存在点P (x, y0),满足ZAPB为钝角，求X。的取值范围。fyc = 04a+ 2b + c = 0解：(1) VOC经过原点0,