高三总复习第四十九讲轨迹问题一、教学目标：了解Illi线与方程的概念，能用儿种常见的求轨迹方法，根据己知条件列岀Illi 线方程，并正确处理增、失根.二、教学重点：1直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；代入法要 设法找到关系式X-f(x,y), yg(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消 参;交轨法要选择参数建立两曲线方程再直接消参;儿何法要挖掘儿何属性、找到等量关系。2.要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后，耍注意挖去或 补上一些点等。三、教学过程：(一)主要知识：求轨迹的一般方法：1. 直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表 述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为肓接法。用肓接法求动点轨迹一般有 建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖与“补二2. 定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接 写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。3代入法:动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点QX， y)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，,y，表示为x,y 的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。4参数法：求轨迹方程有吋很难直接找到动点的横处标、纵处标Z间的关系，则可借助小间 变最(参数)，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方 程。5交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用 此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参 数法的一种变种。6几何法：利用平面儿何或解析儿何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的 条件，然而得出动点的轨迹方程。注意事项：1. 直接法是基本方法；定义法要充分联想定义、灵活动用定义；化入法要设法找到关系式 x=f(x,y), y，=g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参；交轨法要选 择参数建立两曲线方程；儿何法要挖掘儿何属性、找到等量关系。2. 要注意求得轨迹方程的纯粹性和完备性。在最后的结果岀來后，要注意挖去或补上一些 点等。一、直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q(2, 0),圆C的方程为x2 +y2 =1,动点M到圆C的切线长与的比等于常数2(2 0),求动点M的轨迹。说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而目.要说明轨迹是什么。 练习1.点M(x,y)与定点F(1,O)的距离和它到直线尸4的距离的比为2,则动点M的轨迹方 程为().2 ,2 2 ,2A. = 1 B. -F - = 1C. 3x2-y2-34x+65=0 D. 3x2-,2-30x+63=04343(目的：掌握直接法求轨迹方程的基本思路及步骤，同时掌握双曲线第二定义，避免错误使 用)二、定义法题型：例2已知圆O的方程为x+ylOO,点A的坐标为(-6, 0), M为圆O上任一点，AM的垂 直平分线交OM于点P,求点P的方程。练习2.若动圆P过点N(-2,0),且与|g(x-2)2+y2=8,求动圆P的圆心的轨迹方程.A.椭圆的一部分B.双|11|线的一部分C.圆的一部分 D.抛物线的一部分练习3.ZXABC中,4(0,2),B(0,2),且成等差数列，则C点的轨迹方程是 (口的：求Illi线方程应注意根据题意检验方程的完整性)练习4.抛物线的准线/的方程是)=1, 11抛物线恒过点戶则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是(A. (x-1)2=-8(-1)C. 0-1)2=8(x-1).(B )B. (x-l)2=-8(y-l)(对 1)D. 1)2=8(x1)(舜 1)(口的：认识到用泄义法求轨迹方程能减少运算量，是重要的解题方法)A.y2 x25+亍1C.D.三、代入法题型：例3如图，从双曲线xLyLl上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N求线段QN的中 点P的轨迹方程。练习5.P是椭闘兰+ Zl = i上的动点，作丄y轴,D为垂足，则中点的轨迹方程为 169()x2y2x2y2x2y2x2y2A.F = 1 B.F - = 1 C.1= 1 D.1= 19166499449(冃的：掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤，理解其适用的题型)四、参数法题型:例4 已知双曲线二-r = l,(aO,bO),A|、血是双曲线实轴的两个端点,MN是垂直于实 6C b)轴所在玄线的弦的两个端点，则AM为A2N交点的轨迹方程是(Fl的：熟悉参数法求轨迹方程的基木思路，理解相交点轨迹方程的解题技巧)五、交轨法与几何法题型例5 .已知点A(O,1), x、yeRf m2,设亍J为直角坐标平面内兀,y 轴正方向上的单 位向蜃，若向 B p = (x + /n)7 + y J , q = x- m)T + y J , SLp-q=4.求动点M(x,y)的轨迹方程，并讨论方程所表示的曲线；例6已知点A(1,O),动点M到点A的距离比到y轴的距离多1求动点M的轨迹方程;练习6.已知动圆M与y轴相切，且与定F: (x-l)2+y2=l相切，求圆心M的轨迹方程.3练习7.已知点A,B的坐标分别是(-1,0), (1,0),动圆C与AB相切于点D (,0)分别过A,B作|员IC的切线，两切线相交于点M,求点M的轨迹方程.练习8.已知椭圆x2+2y2 =8的两焦点分别为F|、F2, A为椭圆上任一点。AP是ZAF,F2的外角平分线，且APFP = QO则点P的轨迹方程是o练习9.双曲线x2-y2 =4的两焦点分别为F、F2, A为双曲线上任一点。AP是的平分线，且AP F.P = 0.则点P的轨迹是总结：确定轨迹范围，町以从以下几个方面考虑：画一个比较精确的图，从图中有时可以发现端倪；(2) 推敲题中的何:一个词，从中也可能找到暗示轨迹范围的蛛丝马迹;(3) 注意圆锥1川线定义的完整性；(4) 充分挖掘隐含条件(如参考答案一、直接法题型：例1已知直角坐标系中，点Q (2, 0),圆C的方程为%2 + y2 =1,动点M到鬪C的切线长LjMQ的比等于常数2(2 0),求动点M的轨迹。解：设 MN 切圆 C 于 N,则MNf =MOf -ON.设M(x,y),则jF + y2_ = (x-2)2+y2 化简得(A2 -1)(/ +y2)-4/兀 + (1 + 4/l2) = 0(1) 当兄=1时，方程为% = -,表示一条直线。41 1 影2(2) 当几工1时，方程化为(x-)2+y2 = 72衣示一个圆。才1(A 1)说明：求轨迹方程一般只婆求出方程即可，求轨迹却不仅耍求出方程而且耍说明轨迹是什么。 练习1.点M(xfy)与定点F(l,0)的距离和它到直线尸4的距离的比为2,则动点M的轨迹方 程为().C. 3x2-y2-34x+65=0D. 3x2-y2-30x+63=0(冃的：掌握直接法求轨迹方程的阜本思路及步骤，同时学握双曲线第二定义，避免错 课使用)答案：D=2 ,两边平方即得3x2-y2-30x+63=0二、定义法题型：例题2.己知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6, 0), M为圆O上任一点，AM的 垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。解:由中垂线知,PA = PM+ |PO| = PM + PO = OM = 10 ,即 P 点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为(-3, 0),故P点的方程为练习2.若动関P过点N(-2,0)，几与関(x2)2+y2=8,求动圆P的圆心的轨迹方程.A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分练习3.厶4眈 中,A(0,2),B(0,2),且成等差数列，则0点的轨迹方程是 .(冃的：求曲线方程应注意根据题意检验方程的完整性)答案：2 2A 心)解析:CA + CB = 2AB = 8,知:C点轨迹是以A、B为焦点,且2a=8的椭圆练习4.抛物线的准线/的方程是尸1, 11抛物线恒过点P(l,l),则抛物线焦点弦的另一个端点Q的轨迹方程是(A. (x-l)2=-8(y-l)C. 6-1)2=8(x-1)( B )B. (x-l)2=-8(y-l)(好 1)D.(j-1)2=8(x-1)(殍 1)(冃的：认识到用定义法求轨迹方程能减少运算量，是重耍的解题方法) 答案:B解析：设焦点为F,Q(xj),则由抛物线定义得：AF + QF = 2 + (1-y) = PQ = 7(x-1)2+(y+ 1)2 ,化简即得三、代入法题型：例3 如图，从双1111线x2-y2=l 一点Q引肓线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的 中点P的轨迹方程。(考例3)解：设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(xbyi)则N ( 2x-x),2y-yi )代入x+y=2,得2xx】+2yyi=2 乂 PQ ：垂直于总线x+y=2,故-=1, 11 卩 x y+yi-X=03 113由解方程组得E =-x + -y-,y =-x + -y-9代入双曲线方程即可得P点的轨 迹方程是 2x2-2y2-2x+2y-l =0练习5 .P是椭圆7 + = 1上的动点，作PD丄)，轴,D为垂足，则PD中点的轨迹方程为169A.I916649c.r2 v2+-=194D.=1(目的：掌握代入法求轨迹方程的基本思路及步骤，理解具适丿IJ的题型) 答案:D解析：设中点为M(x, y),则P点坐标为(2兀,y),代入方程4- = 1,即得169=1.四. 参数法题型:例题4已知双曲线2 - = l,(aO,bO),A】、去是双曲线实轴的两个端点,MM是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点，则AM与A2N交点的轨迹方程是()A.2 2hi7B.9?-Fa2 b2=1C.a2 bD. 2CT(的：熟悉参数法求轨迹方程的基本思路，理解相交点轨迹方程的解题技巧) 答案:A解析：设与 A?N 交点为 P(x,y),Ai(-a,0),A2(a,0),则 A】M 的方2 2程是 丄=上色，的方程是丄=込工，两式相乘，结合斗-真=1即儿 X+dxl - acr b得.五. 交轨法与几何法题型 例题5 已知点A(O,1), x、/?, m2,设亍为直角坐标平面内兀y 轴正方向上的单 位向量若向量尸= (x + 7)i+yj q=x- m)T + yj 且丨一丨0丨=4.(I)求动点M(x,刃的轨迹方程，并讨论方程所表示的曲线；解：| = J（X +加尸