典题探究No. DateTime.数列的综合问题参考答案例:L無析(I )当n = 二凡+n 2,an = S一 S”_ = kn2 + n-k(n -1)2 + (n -1) = 2kn -k + 1 ( * )经验，77 =1,(*)式成立,an = 2kn -k + (II) %,，%成等比数列，2 =%即(4km -k + )2 = (2km 一 k +- R + 1),整理得：mk(k -1) = 0 ,对任意的m e N *成立, 例2【解析】木题主要考查数列的概念.数列的棊木性质，考查运算能力.推理论证能力.分类讨论等数学思想方法.本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解(I)由题意,得兔=如卡,解如-*3,得y.如寺3成立的所有”中的最小整数为7,即曙7.(II)由题意，得色=2/?-Lm +1对于正整数，由以小得沦 根据饥的定义可知当 m = 2k-1 时,bm = k(nJ；当 m = 2k 时,b肿 k + (kf:b +优 + + $加=(b + 方3 + + 筠叶1) + (2 +4 + 妇)= (1 + 2 + 3 + +加)+2 + 3 + 4 + + (tn +1)L + L = m2 + 2m.2 2(Ill)假设存在门和G满足条件，由不等式+ 加及p0得巴二邑P bm = 3m + 2(m e TV*),根据“的定义可知，对于任意的正整数刃都有3m +1 in - q 3/77 + 2 ,即_ 2p-q0 （或3一10）吋，得m-（或 3/2-13/;-1这与上述结论才盾!1 ?1?1当 3卩1 = 0,即/7二_ 时，得q W 0 q ,解得WgV .33333存在 p和 q,使得bm = 3m + 2（m e N*）； 1 2 1。和7的取值范围分别是p=-，一一q 0且bb,厂均为常数）的图像上所以得S“=b”+r, 当九二1时，a】=5, =h + r f当 n2 时， = S” S- = b + 厂心 +r) = bn -bnx =(b-10“，又因为d”为等比数列，所以r = -l,公比为b , 所以ati=(b-1)/当时,咕m小丁 234n + 则7尹+歹+歹+1 2 3 4n 71 + 1T” = -r Hr + r +2 23 24 252/,+|卜得,=+*+*+存+市严1 门_ 1、x 2”t 丿 +1 _ 311 丄t = 4T+1 2,+22_ 31 n +13 n + 3_ 21+ 23 22所以7；n+22卄1”+12畀+2【命题立意】：本题主耍考查了等比数列的定义，通项公式，以及已知亠求匕的基本题型，并运川错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和7； 例4例4、解析：解：设a讣的公差为d,则（纠 +2d）（q +6d） = -1667| + 3d + a】+ 5d = 0冲+8砌+122=-16ax = -4d解得Ja】=8d = -2因此= -8n + n（n-l） = nn -9）,或S” =Sn-n（n-1） = -n（n一9）演练方阵A档（巩固专练）1.【答案】B【解析】设公比为g,由己知得q/qb =2（qq4，即亍=2,又因为等比数列%的公I&比为正数,所以q故好舒矿斗，选B2.【答案】C【解 析】由 a = a3a7 得（q+3d）?=（也+2）（吗+6d）得 2a + 3J = 0，再由Ss=8a+d = 32 得290&0 = 10坷+亍=60,.故选 C3.【解析】S7 = 7（坷 + 如）=7（勺 + %）= 7（3 +11） = 49.故选 c.7 2 2 22q+7d=8 贝ij d = 2,a、=3 ,所 以a2 = a + cl = 3心=q + 5d = 11 所以$7（坷+如）=7（1 + 13） =49故选c.7 2 24.【答案】：C3解析T S3 = 6 = （d| + eq）且。3=0|+2 坷=4d=2.故选 C2或市a = 1d = 2 6/7=1 + 6x2 = 13-5.【解析】a?2ai=as+4d2（a：j+d） =2d = 1 = d=!【答案】B6. 【答案】B【解析】设公差为d,则（l + d）? =l（l + 4d） dH0,解得d =2,几=1007. 【答案】C【解析】因为匕是等差数列，所以,。心+%产2%,由务+如_尤=0,得:2%aj =0,所以，am =2,又5. . = 38 ,即 =38,即（2m1） X22= 38,解得m=10,故选.C。8. 【答案】A【解析】设数列%的公差为d ,则根据题意得（2 + 2d）2 = 2（2 + 5d）,解得d=*或n（n 1）1 斥d=0 （舍去），所以数列的前项和S=2n+ i丿x= +9解析an是等差数列，由S9=72,得S9 =9a5, a5=8/. Cl2 + 勺 + 為=(2 + 9)+ 4 = (5 + 6)+ 4 = 24 10.答案：15解析对于为/（I4）_q=15B档（提升精练）1.答案225解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 的考查.= 1, a? = 2再=2, ciy = 2a 4, ci 2a? = &= 2。4 =16,属于基础知识、基本运算易知S8 =28-12-1= 255,应填255.2 答案:3解析：木题考杏等比数列的性质及求和运算，由勺=1,$6=4$3得亍二3故a.Fa.q3=33. 解析为等差数列，.牛=导=953答案94. 解析 VSn=nai+-n(nl)d2/. S5=5ai + 10d, S3=3a】 + 3d.6S5-5S3=30ai+60d-(15a1 + 15d) = 15a1+45d=15(ai+3d)=15a4 答案y5. 答案B6、答案D7、答案C8、答案A9. 解：(I)由a讪=2S“+1可得=254-1(7? 2),两式相减得暫+厂匕=2d”，色,=3% S n 2)又 a, = 2S +1 = 3 *. a0 3务故色是首项为1，公比为3得等比数列* an = 3 *(II)设仇的公差为d由7；=15得，可得勺+乞+妇=15,可得b2 =5故可设 b、=5 d,b3=5 + d又 a】=l,a2 = 39a3 =9山题意可得（5 + 1）（5 + + 9）=（5 + 3）2解得d10等差数列仇的各项为正，d（）: d = 2n（n-c.T = 3n +x2 = n +2n” 210. （I）： .%+= 2%+1（几 w N J,d“+i +1 = 2(o” +1),.色+1是以q+l = 2为首项，2为公比的等比数列。 an+l = r.即 =2? lg 矿).(II)证法一： 4心4日= (% +1)忙 .4（%+“2+仪）一 =2叽/. 2 + 筠 + + 化)一加=nbn,2(勺 +b2 + + + bn+l) - (n +1) = (n + l)b/J+l.一，得 2(bn+l -1) = (n + V)bn+ - nbn, 即(-1)乞+-肋”+2 = 0,肋“+2_( + 1)仇+i+2 = 0.一，得 nbtl+2 - 2肋”+ + nbn = 0,b. 丄| =化+ 仇(z? e N) 化是等差数列。C档（跨越导练）1.【答案】B【解析】设公比为g,由已知得诃如 =2（诃即=2,乂因为等比数列1 ?%的公比为正数，所以g =血,故q二幺二二，选B q J2 22角+7d=8 贝ij d = 2卫、=3，所以2 答案：C【解析】由得（再+3d）2 = （q+2d）（q+6d）得2q+3d=0,再由Ss=8+yrf=32 得90S=0a+ d =60,.故选 C3.解：$7=如如=坐如=坐也=49.故选(：.J7222tq + d = 31 = a+5d =11所以S?=舛+如)=1 +=49.故选C.2 26Zi 1“，坷=1 + 6乂2 = 134【答案】B【解析山-2沖2（a十）皿一1 n d一*5.【答案】B【解析】设公差为d,则（l + dF =l（l + 4d）.dH0,解得d=2, S|o1006. 【答案】C【解析】因为an是等差数列，所以，a心+ %+严2%，由心+ 5+1 一尤=。,得：2amam2=0f所以，色=2, 乂 S?心二38,即凹二葺工如dl =38,即（2m-1） X2=38,解得 m =10,故选.C。7【答案】A解析设数列的公差为d,则根据题意得（2 + 2d）2 = 2（2 + 5d）,解1 n（n 17/2得=一或d=0 （舍去），所以数列匕的前刃项和=2/? + -x- = + 2 ”2244&【答案】B【解析】设公差为d,则（l + dF =l（l+4d）.dH0,解得d=2t :.SlQ =1009、解析：（I ）依题意有a +（d +axq） = 2（6 + axq + %旷）2g2 + g = 0又qhO,从iiq =(II)由己知可得(-丄 =31 1 24(l-(-)n)从而Sn =1-(-)24(1-(4)n)10、解析：(1)证 /?! = a2 -ax = 1,当 n2 吋，bn=an-an =-an=- (an - an_) = -1 bn_x所以仇是以1为首项，-丄为公比的等比数列。 解由(1)知仇=d”+-色=(一f,11T7当/? n 2 时an = a +（色 一。）+ （。3 - 勺）+ + （% -_i）= 1 + 1 + （-） + + （_）/，_（_）95 2 1=i+=i+-i-（-r2! z k323 3 21-（-）5 2 1当/? = 1 时，