高三数学专题复习02函数01一、填空题1.下列各组函数中，是同一个函数的有(填写序号)y = x 与 y =彳一 y = / 与 y = (x +1)2 y =与 y =1 兀丨 y = x 与 y =【答案】2. 若函数y = /(x)的图象经过点(1,3),则函数y = f(-x) +1的图象必定经过的点的坐标是.【解析】因为函数y =)与y = / (x)的图像关于y轴对称，所以y = /(-%)的图像必过(一1,3),所以y二/(-%) + 1的图像必过点(-1,4) o3. 函数/(x) = (|)7x2+2x-3的增区间为.【答案】(一3或(co, 3)4. 已知/(兀)=。是定义在(Y),_lUl,+e)上的奇函数，则/(兀)的值域为21【解析】由奇函数性质知其定义域关于原点对称，值域也关于原点对称.首先求出参数可利用特殊值法，奇函数=f(_1) j(1) =a = (g),得g =.兀ni时，2ini,2 1 21 20 0(-oo,l)上是单调递减函数，且/()恒成立，所以,解得()Vd51.-axi06. 已知函数/(x) = x(2-lxl),则函数y = /(x)的增区间是【解析】/(x) = x(2-|x|)=2x-x2 (x 0)2x + x2(x 0Hj, /(x) = 2x-x2=-(x-1)2 + 1,增区间0,1.当 xvO 时，/(x) = 2x + x2=(x + 1)2-1,增区间一1,0.函数增区间7.若函数/(兀)为定义在R上的奇函数，且在(0,+oo)内是增函数，又/(2) =0,则不等式xf(x) 0的解集为.【解析】由题意可知函数于(兀)在区间(y,2)U(O,2)上有/(x)0,所以所求不等式xf(x) 0的解为(2,O)U(O,2).函数y=l- Xsinx+ 2宀1的最大值打最小值的和为【解析】令f(x)=sinx/+2宀1则 f(x)为奇函数故 f(X)nlax+f(X)min=O, ymax+ymin=2.9.已知不等式与 xyy =丄一 2()2 = / - 2尸(其中2 2 ),对X XX上式在XGL2, ye 2,3恒成立，说明Q不能小于右边的最大值rel,3,r-2r26-15,-l,故ah110.若函数/二仮二1 +加在区间d,列上的值域为号冷(ba)f则实数加的取值范围为MB【解析】函数/(x) = VTl+/n在区间a问上的值域为号冷(ba)-/a-l - m2,方程m =-y/x-l,(x 1)有2个解,-Jb_ = m22令宀耐,go),则吩y_q“o)有2个解,1 . 1 1+亍心)与)5有2个交点，图像如图所示，。5筈11对于定义在7?上的函数/（%）,有如下四个命题： 若/（0）= 0,贝ij函数/（兀）是奇函数；若/（4）工/（4）,则函数/（兀）不是偶函数；若/（0）/（4）,则函数.f（x）是/?上的增函数；若/（0）/（4）,则函数于不是/?上的减甫 数.其中正确的命题有（写出你认为正确的所有命题的序号）.【解析】例in /（x） = x2满足/（0） = 0,但函数/（兀）不是奇函数；故错误 若/（4）工/（4）,则函数/（兀）不是偶函数；正确 例如/（x） = x2, /（0）/（4）,但函数于（兀）在R上不是增函数;故错误若/（0）/（4）,则函数不是R上的减函数,正确所以填12.已知/(x) = 4x+l, g(x) = 4-若偶函数力(兀)满足h(x) = mfM-ng(x)(其中m, n为常数),且最小值为1,则m + n=【解析】T力（兀）是偶函数，.：力（一兀）=/?（无），即加（4 + lj + n -4v =加（4 +l） + n-4 , .:（加一町（4 一4 ） = 0,.*. m = n,:.= m 4v +4 +1） 又/i（x）的最小值为1,13.已知函数/(x) =lx + l-lx I,关于x的方程 f2(x) + a /(x) +/? = 0 ( a.b e R )恰 XX有6个不同实数解，则0的取值范围是【答案】（-4,-2）【解析】研究方程根的个数主要从函数图像进行分析.因为/(一兀)=1 一兀+ I-I-X 1= /(X),所以函数/(X)为偶函数,XX2只需研究(0,+oo)上图像，当xl时，f(x) = -；当01时，f(x) = 2x.X要使方程/2(x) + |/(x)| + Z? = 0 (a,b w R)恰有6个不同实数解，需使方程八+/ + b = 0 (a,bwR)恰有2个不同实数解，其中一根为2,另-根在区间(0,2)内, 所以b = 4 2d,() a 2 2 ,即d的取值范围是(-4,-2).14.设已知隊数/(x) = |log2x| ,正实数m, n满足m /(n) = log2 n.乂 f(m) - fri) = log2 in + log2 h = 0 log2 mn =0 mn - 1.山已知 0aw2 m log2 m = - = m =二、解答题215. (1)计算：210g2-| | 3+lg + (V2-l),gl(27丿 100丄 _1/ + 兀一2_2(2)已知兀2+兀2=3,求一罕一的值.X + X-1-3【解析】(1)原式=2叱尸(2丫+ lglO_2+(V2-l)=rr2+l=3(2)因为 x2 + x+2 = 9得兀 +兀一=7(x + x-1) = x2 + x-2+2 = 49Mx2+x-2 =4747-245所以原式=7-3416. 已知函数/(兀)=弓$是奇函数.求m的值：(2)设g(x) = 2x+i-a若函数/(x)与g(0的图象至少冇一个公共点.求实数a的取值范围.【解析】(1)由函数/(兀)是奇函数可知:/(0) = 1+777 =0,解得m = -.(2)函数/(兀)与g(兀)的图象至少有一个公共点4 _ 1即方程= 2V+1 - 6/至少有一个实根2X即方程4 - a 2 +1 = 0至少有一个实根令t = 2x 0,则方程t2-at + = 0至少有一个正根方法一：由于+ta的取值范围为2,+oo).A0方法二：令h(t) = r-at + ,由于/?(0) = 1 0 ,所以只须Ja ,解得tz2.012a的取值范围为2,+00)17. 已知/(兀) = lg(j4兀$ + /? + 2兀),其中是常数.(1 )当b = l时，y = /(x)是奇函数；(2)当方=4时，y = /(x)的图像上不存在两点4、B,使得肓线AB平行于兀轴.【解析】(1)由题意，函数定义域对定义域任意兀，冇：所以/(-x) = -/(%),即y = / (x)是奇函数.(2)假设存在不同的A,B两点，使得平行兀轴，则+ 4 + 2兀八)Tg(j4x/+4 +J +1 - J%/ +1 =兀人-xIf化简得:x42 + Xg 2xaxb = 0, U|J xA = xB ,与 A、B 不同矛盾。/. y = /(x)的图像上不存在两点，使得所连的直线与兀轴平行18. 已知定义在R上的单调递增函数/(%)满足f(x + y) = f(x) + f(y) JL/(1) = 1。(I )判断函数y = f(x)的奇偶性并证明之;(II) 解关于x 的不等式：/(x2) + /(-6x + 4)B有H.仅有一个元素，求证：b = 一 o4【解析】(I ) 4% = ,y = 0, /(0) = /(0) + /(0) /. /(0) = 0令 y = -x,/(0) = /(%) + f(-x) = 0 /. f(-x) = /(x),函数为R上的奇函数.(II)由(I )知/X-l)/=-1, /(x2) + /(-6 + 4)= /(x2-6x + 4)又函数是单调递增函数，f (x2-6x4-4)-1 = /(-I)故 x2-6x + 4-1. 1%25x8,整理得%2-65x + 100025时,不等式dxA25x8 + 50 +丄C?_600) +丄x有解,等价于x25吋，ah 竺+丄兀+丄有解，65x