2009-2010学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第32讲 不等式解法及应用一. 【课标要求】 不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组) 的实际背景；2. 元二次不等式 .经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程； 通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图3二元一次不等式组与简单线性规划问题 从实际情境中抽彖出二元一次不等式组； 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组； 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。二. 【命题走向】分析近儿年的高考试题，本将主要考察不等式的解法，综合题多以与其他章节(如函数、 数列等)交汇。从题型上來看，多以比较大小，解简单不等式以及线性规划等，解答题主要 考察含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用。预测2010年高考的命题趋势：1. 结合指数、对数、三角函数的考察函数的性质，解不等式的试题常以填空题、解答 题形式出现：2. 以当前经济、社会、生活为背景与不等式综合的应用题仍是高考的热点，主要考察 考牛阅读以及分析、解决问题的能力；3. 在函数、不等式、数列、解析几何、导数等知识网络的交汇点命题，特别注意与函 数、导数综合命题这一变化趋势；4. 对含参数的不等式，要加强分类讨论思想的复习，学会分析引起分类讨论的原因， 合理分类，不重不漏。三. 【要点精讲】1. 不等式的解法解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不 等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。高考试题中，対解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占和当大的比例。(1) 同解不等式( f(x) g(x)与/(x) + F(x) g(x) + F(x)同解；(2 ) m 0, /(x) g(兀)与 mf(x) ing(x)同解，m g(兀)与mf(x) 0 (g(x)H 0 同解);gM2. 一元一次不等式解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解英他各类不等式的基础，必须熟 练掌握，灵活应用。(1) 00ax b分 (2)a = 0情况分别解Z。(3)a 0 (g H 0)或 ar? + /处 + c v 0 ( 工 0)= 分 g0 及 g v 0 情况分别 解Z,还要注意厶=/ - 4ac的三种情况，即()或 = ()或 ()Of(x)g(x)(),也1200卩)朋。g(兀)g(x)1&(兀)工05. 简单的绝对值不等式绝对值不筹式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不 等式。高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。解绝对值不等式的常用方法： 讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般 不等式； 等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：2 2|刘vaO xVU ax0),lxla x2a2 xa 或 x0)o一般地有：lf(x)lg(x) g(x)f(x)g(x) f(x)g (x)或 f(x)aM =当ol时，fMg(x)；当0 V Q V 1吋，/ V g（x）;7. 对数不等式ah = N h = log“ N（a 0, h 0,ri呱e)o产少log“/（兀） log“ g（兀）=g(x)0(1) 当Q1时，彳:fM g(x)fM0(2) 当 0 VG V 1 吋，ofW 0在平面宜角坐标系中表示Ax + By + C = 0某 一侧所冇点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐 标系中画不等式Ax + By + Cn0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线 曲成实线。说明：由于肓线Ax + By + C = 0同侧的所有点的坐标(兀,y)代入Ax + By + C,得到 实数符号都相同，所以只需在点线某一侧収一个特殊点(兀0，儿)，从Ar0 + By0 + C的正负即 可判断Ar + By + C0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当ChO时，通常把原点作为 此特殊点。(2) 有关概念引例：设z = 2x+y ,式中变量满x-4-y -3 足条件l小值。由题意，变量兀y所满足的每个不等式 都表示一个平血区域，不等式组则表示这些 平而区域的公共区域。由图知，原点(0,0) 不在公共区域内，当x = 0,y =()时， z = 2x+y = 0 ,即点(0,0)在宜线厶：2兀+)=0上，作一纟fl平行于厶的肓线儿2x+y = r, YR,可知：当/在/()的右上方时, 直线/上的点(忑刃满足2x + y(),即r0,而一几，直线/往右平移时，/随Z增大。由图象可知，当直线/经过点A(5,2)时，对应的f最人，当直线/经过点5(1,1)时，对应的/最小，所以，zmax =2x5 + 2 = 12 , Sin =2x1 + 1 =3o在上述引例中，不等式组是一组对变量兀,y的约束条件，这组约束条件都是关于兀y的 次不等式，所以乂称为线性约束条件。z = 2x+y是要求最大值或最小值所涉及的变量 兀*的解析式，叫目标函数。乂由于z = 2x + y是兀*的一次解析式，所以乂叫线性目标函 数。一般地，求线性目标函数在线性约朿条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划 问题。满足线性约束条件的解(兀刃叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在 上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标 函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解。四. 【典例解析】题型1：简单不等式的求解问题 例1.、(福建省福州市普通高中09年高三质量检查)己知/(x)(x工0,兀w R)是奇函数当兀 0,1/(-2) = 0 ,则不等式/(%) 0的解集是()A. (2, 0)B. (2,+oo)C. (2,0)U (2,+co)D. (oo,2) U (2,+co)答案 C8 如果log】271X37T lop】一那么sinx的取值范II是 |2答案解析:71兀C 171 ,7171、71(兀5 log =0lx-13丄22厶32L 63J54_x9 v訝(13 + 12) = 0等于当且仅当廿十且“9,即尸6且円时成立，故应分别有6、4。点评：简单的分式不等式的解法是高中数学中常用到的求范围问题工具，分式不等式的 解题思路是：分式化整式（注意分母不为零）o题型2：简单的绝对值、涉及指数、对数和三角的不等式的求解问题例3. （1）某生物生长过程中，在三个连续吋段内的增长量都相等，在各吋段内平均增长速 度分别为H1，“2卍3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为1 11+V. + V, + 八A. 123B.3V3cVWs- + + -解：设三个连续时段为t, t2,切各时段的增长量和等,设为M9则M= Vj tj= “2七2=“3切整个时段内的平均增长速度为3M1 +2 +33MMMM一 + 一 + -31 i r-+ 一 + -儿 V2 ”3 儿 V2 V3（2）如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000 米池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少 米时占地总面积最少？（14,）走道2米走道2米走不I走I不I走4米走道4米走道/解：设池塘的长为X米时占地总面积为S（1分）故池塘的宽为y =型四米（1分）Xc I / 20000 八 小（、S = （6 + 兀）6 （% 0）（3 分）I兀丿.z n 120000 / w小八、故 S =6兀 + 20036（2 分）（2分）.当竺型=6兀时即兀2 = 20000兀= 100仮米)吋（1分）（3分）尸卫攀=50血米时100V2Sinin = 2J720000 + 20036= 120072 + 20036答：每个池塘的长为100“米，宽为50“米时占地总面积最小。（1分）点评：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求。 （2）答案：C3 Y x 2解法一：当x22时，原不等式化为 ，3 + x 兀 + 2去分母得（x+2） （3-x） （x+3） （x-2）,即一x2+x+6x2+x6, 2x2 120, V6 X a/6 0注意 x22,得 2WxJ&；3 x 2 x当0Vx，去分母得一x2+x+6 X2x+6o3+兀2+X即 2x0 注意 0Vx2,得 0x2。 综上得0xJ&,所以选C。解法二 特殊值法取x=2,适合不等式,排除A；取*2.5,不适合不等式,排除D： 再取x=V6 ,不适合不等式，所以排除B；选C。(A) (1, 2) U (3, +8)(V10 , +)点评：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力。例4.(2)在(0,2 刀)内,使sinx