北京市第166中学2015 2016学年度高三年级第二学期开学月考数学(文科)第一部分 (选择题共40分)一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符 合题冃要求的一项.)1. 已知集合 P=xx2 - 2% 0, (2=x|l % 2,则 PU0 等于()A. 0,1) B. (0,2 C. (1,2) D. 0,2答案Bx-y02. 若兀,y满足 x+y 03A. -2B. -1C 0D. 23. 执行如图所示的程序框图,输出的结果为().BA. (-2,2) B. (-4,0)C. (4,4) D. (0,8)4. 卜-列函数中在其定义域上是偶函数，且在(0,分上递减的是()DA /(%) = xsinxB. /(%) = x2sinxC. f(x) = xcosxD. f(x) = p|X|5. 设实数a, b,则log=2”是aa2 = b”成立的()条件AA.充分而不必耍 B.必耍而不充分C.充分必要D.既不充分也不必要sin 2 A6. 在厶ABC 中， = 4, b = 5 , c = 6,则=()CsinCA- 3B- A ID. -17. P是椭圆若+音=1 (ab0)上异于顶点的任意一点，佗，F2为其左、右焦点，则以PF?为宜径的圆与以长轴为宜径的圆的位置关系是()BA.相交 B.内切 C.内含 D.不确定8. 设M = (x,y) | F(x,y) = 0为平而直角坐标系兀Oy内的点集，若对于任意(x15yj)G M ,存在(%2,y2) M ,xxx2- yy2 0）的距离和到 直线y = a的距离相等，且机器人所在位置的横纵坐标都为正数现有一 条过点P（0, -Q）斜率为竽的直线2,若机器人行进过程中在点M处接触 到了直线2, |MF| = 2,贝h的值是. X14. 将休积为1的四面休第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面休， 第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面 体，如此下去，共进行了料5丘2）次则第一次挖去的几何体的体积是这/?次共挖去的所有几何体的体积和是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15（木小题满分13分）已知函数 /(x) = cos2 x + 5/3 sinxcosx , xe R.(I )求/(X)的最小正周期和单调递减区间；(II )设x = m (me R)是函数y = f(x)图象的对称轴，求sin4加的值.解：(I )由已知，函数 f (x) = cos2 x + x/3sinxcosx173=(1 + cos 2x) +sin 2x /r 71、 I =sin(2x + ) + .6 2函数f(x)的最小正周期为T = n.jr7T3兀7r2ir2kn + 2x + 2knH时(keZ),即 kTt+ xSk+2fSkfSk+1成等差数列.(1) 设数列an的公比为q(qHO,q), |a5,a3,a4成等差数列，得2a3 = a5 + a4，BP2aiq2 = axq4 + axq3, 由H 0,q H 0,得q? + q 2 = 0,解得q】=2,q2 = 1(舍去)， 所以q = 一2.证明：对任意kGN+,Sk+2 + Sk+i 一 2Sk = (Sk+2 一 SQ + (Sk+i 一 Sk)=ak+l + ak+2 + ak+l=2ak+i + ak+i (2)=0,所以,对任意k G N+，Sk+2，Sk，Sk+i成等差数列.17.（本小题满分13分）卫生部在两所医院A、B实验某种药物，在每所医院随机抽取7位病人组 成实验组，A医院的记作A组，B医院的记作B组.他们服用某种药物后 的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 组：12, 13, 15, 16, 17, 14, 25从A, B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（I）求甲的康复吋间不少于14天的概率；（II）求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；3解：（I ）记甲康复吋间不小于14天为事件A.则P（A） = -73答：甲康复时间不小于14天的概率为歹.（II）记甲的康复吋间比乙的康复吋间长为事件B .基本事件空间如F表1011121314151612短短短长长长长13短短短短长长长14短短短长长15短短短短短短长16短短短短短短短17短短短短短短短25短短短短短短短所以P心鼎咄18（本小题满分13分）已知三棱柱ABC A|B|G若E, F分别是线段B&, AC的中点，求证：EF/平面ABBA；（II）若 AB 丄 BC ,且B,A = BC = B,B = AC，求证：平ifu B.AC 丄底面 ABC .（III）若三棱锥B】-ABC的体积为1,写出三棱柱ABC-AQG的体积；（此 问不要求过程）19(本小题满分14分)已知定点M (1,0)和直线x = -上的动点2(-1,/),线段MN的垂直平分 线交直线=/于点设点/?的轨迹为曲线E(I )求曲线E的方程；(II)直线y = kx + b(k$交x轴于点C,交曲线E于不同的两点4,3, 点B关于x轴的对称点为点P.点C关于y轴的对称点为Q , 求证：A, P, 0三点共线.(I )冇题意可知：RN = RM ,即点/?到直线x = -和点M的距离相等. 根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中M为焦点.设R的轨迹方程为：y2=2px ,号=1,p = 2 所以/?的轨迹方程为:9y2 = 4x. 5 分(II)由条件町知C(2,0),则2(-,0).kk“、 y = kx + b、亠r.联立f ?，消去 y 得疋/ +(2bk-4)x + b2=0,y =4xA = (2bk一4)2 -4b2k2 = 16(l-M)0.设 A(xl9ylB(x2,y2)(x 成立（因&（x）在（1马上为增函数）,所以在（1,2）rw成立，即川功在（U）上为增函数，不合题意.同理E吋，可判断川刃在空）为减函数，不合题意.综上3 8.（Ill）+2r-.因为函数川町有两个不同的零点，即也）有两个不同的零点，即方程的判别式,解得Q-l.由jd+Zr-a-S ,解得斗=T-花亠1,耳 一1 一点Zi .此吋岭+斗-2,字Y.随着k变化，和/*（r）的变化情况如下:X斗從斗）耳rw 40+Z极大值X极小值Z所以斗是的极大值点，斗是用）的极小值点，所以f（功是极大值,/（号）是极小值所以/W /（与）（才严由* - 才D讨k 业* _卡卜町 =r1fl,-t4+2)io,M因为4 -1,所以所以 A*)