第二讲 三角变换与解三角形考点整合1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(l) sin(a/?) = sin acos 0土cos sin 卩.(2) cos(a0) = cos occos 庐sin asin p.(3) tan(a0) =tan吐tan卩1+tan atan p2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式(l) sin 2a=2sin ctcos a.2 2 2 。(2) cos 2q=cos asina=2cosa 1 = 1 2sina.(3)tan 2a=2tan a1 tan3. 三角恒等变换的基本思路(1) “化界为同”，切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”(2) 角的变换是三角变换的核心，如“=仏+0) 弘2a=(a+p) + a-p)等.4. 正弦定理孟需F=2R(2R为亠眈外接圆的直径).变形：a = 2RsinA, b=2/?sin B, c=2Rsin C. sin*為 sin吐磊,sin C=.a ： b ： c=smA : sinB ： sin C.5. 余弦定理a2=b2+c22bccos A, b2=a2+c22accos B,c2=a2 + b22abcos C. 推论：2hccT-b(TC0S C=2-cos B=,2 + c2 6. 面积公式S3Bc=*csin A =*dcsin B=absm C.7. 三角形中的常用结论(1) 三角形内角和定理：A + B+C=tl.(2) /BC0abc0sin /sin Bsin C.(3) a=bcos C+ccos B.真题感悟1.（2013-浙江）已知 aWR, sin a+2cos则 tan 2a 等于A. |B.|C.D.答案C解析T sin a + 2cos a =VTo2/. sin2ct + 4sin a cos a + 4cos2a = 7用降幕公式化简得/. tan 2asin 2acos 2a:4sin 2a = - 3cos 2a ,3-才.故选c.2.（2013-辽宁）在厶中,内角儿B, C的对边分别为a, b, c若asin Bcos C+csinBcosr兀B.亍4 =*b,且ab,则B的大小为（）A6答案Aac|解析 由条件得評门Bcos C + pin Bcos力二,由正弦定理，得 sin /cos C + sin Ceos A ,sin（J + C） = ,从而 sin B 二*,兀又ab ,且W（0 , 7t）,因此B =石3. （2013-陕西）设厶ABC的内角4, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcos C+ccos E=asin贝iJAC的形状为（）A锐角三角形B.直角三角形C.饨角三角形D.不确定答案B解析 由 bcos C + ccos B = asm A 得 sin Bcos C + sin Ceos B = sin2J 即 sin（ + Q = sin2J ,JT一所以sin/二1 ,由0力5 ,得力=2 ,所以ZX/gC为直角三角形4. （2012-r东）在厶ABC 中，若ZA = 60f ZB=45。，BC=3逗,则/C 等于（）A. 43B. 23C.3D.答案B解析利用正弦定理解三角形.在厶ABC中，AC BCsin B sin A:.AC =3Csin Bsin A5. （2013-安徽）设厶ABC的内角4, B, C所对边的长分别为a, b, c.若b+c=2at3sinA=5sinB, 则角C=.答案t解析 由已知条件和正弦定理得：3a二5方，且b + c二2a ,mil 5blb贝a= f c = 2a - b=a2 + b2 - c2 1li 厶 2兀cos C =而=厂又0C7i ,因此角C二亍题型一三角恒等变换【例1】（1）若qe（o, A*题型与方法i,且sia+cos 2a=才，则tan a的值等于C.y/2Dpsin(a+0)=学，sin另=|,贝I cos(a+=B平（2）已知a, 0 乎，兀），审题破题 利用同角三角函数关系式先求sin a或cos a ,再求tan a ； (2)注意角之间的 = (a+0)答案(1)D (2)_|解析(1)TaE(0 ,另，且 sin2a + cos 2a=* ,sin気 + cos2a - sin2a 二+，/.cos2a 二cos a二+或*(舍去)，/.a = j f *.tan a = y3. (2)因为a , 0丘(普，兀) 又号0.易得 cos(a +“) = .=cos(a +4x(-714+ sin(a +,1256Kl3= 65 -反思归纳(1)公式应用技巧：直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；常 用切化弦、异名化同名、异角化同角等(2)化简常用技巧：注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；注意利用角与角之间的隐含关系，如2d二仗+ 0) +旳二(00)+卩等；注意利用“ 1 ”的恒等变形,如tan 45 = 1 r sin2a + cos2a = 1 等.变式训练1若06煜，一乡00, cos(扌+=*,a适B -迈 a厂、3u 39D.则)答案C解析 V cos + aj 丑 3 凶-平，号”0 ,y6sin(扌 + a又 T cosg - 2_ 3 rs心71A + a=cos(扌 + JeosG f亠並+迈应一也_ 3333 9 -已知 sina=*+cosa, H. aW(0/ cosset + 9=cos+ sil4 + 4in(4 271答案一乎cos 2acos2a - sin2a解析(0血、s叭a - 4丿(s,n a cos a)(cos a + sin a)(cos a - sin a) 厂. 2(cos a + sin a).牙(sin a cos a)._1 _ 1 .sin a = 2 + cos a 9 . cos a sin a =两边平方得 1 - 2sin acos a = 2sin acos a = .g(0,第/. cos a + sin a =yl(cos a + sin a)2 =V142 cos 2a题型二解三角形【例2】N4BC的三个内角B, C所对的边分别为Q, b, c, asin Asin B+bcoA =2a.求纟(2)若 /=/+屈2,求&审题破题(1)利用正弦定理，化去角B的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征， 联想到余弦定理，求cos B的值，进而求出角B.解 由正弦定理,得asin B = bsin A ,又 Qsin / sin 3 + bcoA = y2a ,所以 bsixfA + bcos2A = y/2a，即 b 二応q.所以方=yf2.(2)由余弦定理和c2 = b2-3a2 , z_ (1又 0。30 ,故 cos = ,又 05ACBC