为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益偏微分方程2010-2011第二学期理科班李亚纯为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益第一章第一章 绪论绪论偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations）指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程数的方程悠久的历史悠久的历史 广泛的应用广泛的应用 数学的发展数学的发展为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 悠久的历史：悠久的历史：著名的弦振动方程著名的弦振动方程 1727: 1727: John BernoulliJohn Bernoulli, ,离散质量情形离散质量情形 dAlembertdAlembert( (研究弦振动方程的先驱研究弦振动方程的先驱) )17461746：张紧的弦振动时形成的曲线的研究张紧的弦振动时形成的曲线的研究特殊的偏微分方程最早出现在特殊的偏微分方程最早出现在17341734年年EulerEuler的著作中，并的著作中，并于于17431743年出现在年出现在dAlembertdAlembert的的论动力学论动力学中。中。 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益广泛的应用：广泛的应用：传统学科传统学科流体力学：流体力学：Navier-StokesNavier-Stokes方程组方程组( (粘性流体粘性流体) ) EulerEuler方程组方程组( (无粘流体无粘流体) )弹性力学：弹性力学：Saint-VenantSaint-Venant方程组方程组电动力学：电动力学：MaxwellMaxwell方程组方程组( (电磁场电磁场) )量子力学：量子力学：SchrdingerSchrdinger方程方程 DiracDirac方程方程( (微观粒子微观粒子) )广义相对论：广义相对论：EinsteinEinstein方程方程( (引力场引力场) )规范场：规范场：Yang-MillsYang-Mills方程方程磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益交叉学科交叉学科生物数学：生物种群动力学生物数学：生物种群动力学 传染病动力学传染病动力学 DNADNA分子动力学分子动力学金融数学：随机微分方程金融数学：随机微分方程经济学经济学社会科学社会科学为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益数学的发展：数学的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：函数论函数论变分法变分法级数展开级数展开常微分方程常微分方程代数代数微分几何微分几何为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益参考书参考书Courant-Hilbert: Method of Mathematical PhysicsFritz John: Partial Differential EquationsWalter Strauss: Partial Differential Equations, An IntroductionLawrence C. Evans:Partial Differential Equations李大潜，秦铁虎：李大潜，秦铁虎：物理学与偏微分方程物理学与偏微分方程为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型3 二阶线性偏微分方程简介二阶线性偏微分方程简介为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1. 1. 什么是偏微分方程？什么是偏微分方程？ 物理量物理量( (如位移、温度等如位移、温度等)-)-时间、空间位置时间、空间位置 -物理量的变化规律物理量的变化规律( (偏微分方程偏微分方程) )1 1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 一般形式：一般形式：自变量自变量未知函数未知函数 一般形式：一般形式：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例子：例子：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益可验证可验证: : 均满足弦振动方程均满足弦振动方程 满足热传导方程满足热传导方程 均为解均为解可验证可验证: : 为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2. 2. 相关基本概念相关基本概念阶数阶数( (OrderOrder) )：未知函数偏导数的最高阶数；未知函数偏导数的最高阶数；维数维数( (DimensionDimension) )：空间变量的个数；空间变量的个数； （对发展型方程：维数（对发展型方程：维数= =自变量个数自变量个数1 1； 对非发展型方程：维数对非发展型方程：维数= =自变量个数）自变量个数）解解( (SolutionSolution) )：（求解区域）（求解区域）在在 内足够光滑，且处处满足偏微分方程（内足够光滑，且处处满足偏微分方程（* *）称为偏微分方程（称为偏微分方程（* *）的）的经典解经典解：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益自由项：自由项：方程中与未知函数无关的项方程中与未知函数无关的项齐次方程齐次方程( (HomogeneousHomogeneous) )：不含非零自由项不含非零自由项非齐次方程非齐次方程( (NonhomogeneousNonhomogeneous) )：含有非零自由项含有非零自由项线性线性 ( (LinearLinear) )方程：方程：否则称为否则称为非线性非线性( (NonlinearNonlinear) )方程方程为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益半线性半线性( (Semi-LinearSemi-Linear) )：主部主部( (含最高阶导数的部分含最高阶导数的部分) )线性线性拟线性拟线性( (Quasi-LinearQuasi-Linear) )：最高阶导数本身是线性的最高阶导数本身是线性的完全非线性完全非线性( (Fully NonlinearFully Nonlinear) )：最高阶导数是非线性的最高阶导数是非线性的线性线性(Linear)(Linear)：多重指标（多重指标（Multi-indexMulti-index）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 例子：例子：二阶线性齐次二阶线性齐次一阶线性非齐次一阶线性非齐次一阶半线性非齐次一阶半线性非齐次一阶拟线性齐次一阶拟线性齐次一阶完全非线性非齐次一阶完全非线性非齐次二阶线性齐次二阶线性齐次四阶线性齐次四阶线性齐次二阶半线性齐次二阶半线性齐次三阶半线性齐次三阶半线性齐次二阶拟线性齐次二阶拟线性齐次为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益3. 3. 研究内容：研究内容：一般规律一般规律+ + 定解条件定解条件( (初始条件、边界条件初始条件、边界条件) ) 定解问题定解问题 定解问题的适定性：定解问题的适定性：存在性（存在性（ExistenceExistence） 唯一性（唯一性（UniquenessUniqueness） 稳定性（稳定性（StabilityStability）+ + 附加条件附加条件方程方程为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型2.1 2.1 波动方程的定解问题波动方程的定解问题2.2 2.2 热传导方程的定解问题热传导方程的定解问题2.3 2.3 调和方程的定解问题调和方程的定解问题2.4 2.4 一阶方程（组）的例子一阶方程（组）的例子2.5 2.5 其他方程的例子其他方程的例子为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益2.12.1 波动方程的定解问题波动方程的定解问题波动方程是波动方程是描述振动与波的传播现象的一种描述振动与波的传播现象的一种发展方程发展方程弦的横振动（弦振动方程）杆的纵振动一维非线性弹性振动电报方程膜的横振动声波方程电磁波方程为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益1. 1. 弦振动方程的导出弦振动方程的导出考虑一根张紧的考虑一根张紧的均匀柔软均匀柔软的细弦，受垂直于弦的的细弦，受垂直于弦的外力外力作用，在作用，在平衡位置平衡位置附近作附近作微小微小的的横振动横振动平衡位置：平衡位置：弦静止时的位置，通常设为弦静止时的位置，通常设为 X X 轴；轴；均匀：均匀：弦的线密度弦的线密度( (单位长度的质量单位长度的质量) ) 为常数；为常数；柔软：柔软：张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯 曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长 与张力满足与张力满足HookeHooke定理定理横振动：横振动：振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置 垂直；垂直；外力：外力：外力密度外力密度( (单位长度受到的外力单位长度受到的外力) )为为F F ；为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益微小：微小：振幅相对于弦长很小振幅相对于弦长很小为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益微元分析法：微元分析法：在物体中任取一个微小的立方体在物体中任取一个微小的立方体( (微元微元) )，在其上建立相应，在其上建立相应的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适