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2022高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1下列判断错误的是( )A若随机变量服从正态分布,则B已知直线平面,直线平面,则“”是“”的充分不必要条件C若随机变量服从二项分布: , 则D是的充分不必要条件2一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体,小圆柱底面半径为,大圆柱底面半径为,如图1放置容器时,液面以上空余部分的高为,如图2放置容器时,液面以上空余部分的高为,则( )ABCD3设,则( )ABCD4复数,是虚数单位,则下列结论正确的是AB的共轭复数为C的实部与虚部之和为1D在复平面内的对应点位于第一象限5若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间上单调递增,则的最大值为( )ABCD6框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,则图中空白框中应填入( )A,BC,D,7已知i是虚数单位,则( )A B C D8已知与分别为函数与函数的图象上一点,则线段的最小值为( )ABCD69在中,已知,为线段上的一点,且,则的最小值为( )ABCD10如图所示,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )ABCD11设复数满足,在复平面内对应的点的坐标为则()ABCD12如图,在中,点M是边的中点,将沿着AM翻折成,且点不在平面内,点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等,则直线经过的( )A重心B垂心C内心D外心二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知向量,且,则_.14在的展开式中,的系数等于_15如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为_16已知椭圆的下顶点为,若直线与椭圆交于不同的两点、,则当_时,外心的横坐标最大三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为:,曲线的参数方程为其中,为参数,为常数(1)写出与的直角坐标方程;(2)在什么范围内取值时,与有交点18(12分) 选修4-4:极坐标与参数方程 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)若射线与曲线交于,两点,与曲线交于,两点,求取最大值时的值19(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.求;当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.20(12分)如图1,四边形是边长为2的菱形,为的中点,以为折痕将折起到的位置,使得平面平面,如图2.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.21(12分)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.(1)求B;(2)若,AD为BC边上的中线,当的面积取得最大值时,求AD的长.22(10分)已知,且.(1)求的最小值;(2)证明:.2022学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1D【答案解析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,依次对四个选项加以分析判断,进而可求解.【题目详解】对于选项,若随机变量服从正态分布,根据正态分布曲线的对称性,有,故选项正确,不符合题意;对于选项,已知直线平面,直线平面,则当时一定有,充分性成立,而当时,不一定有,故必要性不成立,所以“”是“”的充分不必要条件,故选项正确,不符合题意;对于选项,若随机变量服从二项分布: , 则,故选项正确,不符合题意;对于选项,仅当时有,当时,不成立,故充分性不成立;若,仅当时有,当时,不成立,故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确,符合题意.故选:D【答案点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识,考查理解辨析能力与运算求解能力,属于基础题.2B【答案解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【题目详解】在图1中,液面以上空余部分的体积为;在图2中,液面以上空余部分的体积为.因为,所以.故选:B【答案点睛】本题考查圆柱的体积,属于基础题.3C【答案解析】试题分析:,故C正确考点:复合函数求值4D【答案解析】利用复数的四则运算,求得,在根据复数的模,复数与共轭复数的概念等即可得到结论【题目详解】由题意,则,的共轭复数为,复数的实部与虚部之和为,在复平面内对应点位于第一象限,故选D【答案点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化,其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为5C【答案解析】由题意利用函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,求出的最大值【题目详解】解:把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间,上单调递增,在区间,上,则当最大时,求得,故选:C【答案点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题6A【答案解析】依题意问题是,然后按直到型验证即可.【题目详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,故选:A.【答案点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.7D【答案解析】利用复数的运算法则即可化简得出结果【题目详解】故选【答案点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算,属于基础题。8C【答案解析】利用导数法和两直线平行性质,将线段的最小值转化成切点到直线距离.【题目详解】已知与分别为函数与函数的图象上一点,可知抛物线存在某条切线与直线平行,则,设抛物线的切点为,则由可得,所以切点为,则切点到直线的距离为线段的最小值,则.故选:C.【答案点睛】本题考查导数的几何意义的应用,以及点到直线的距离公式的应用,考查转化思想和计算能力.9A【答案解析】在中,设,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【题目详解】在中,设,即,即,即,又,则,所以,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、,为线段上的一点,则存在实数使得,设,则,消去得,所以,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【答案点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.10B【答案解析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥,且是有三条棱互相垂直的三棱锥,根据几何体的各面面积可得最大面的面积【题目详解】解:分析题意可知,如下图所示,该几何体为一个正方体中的三棱锥,最大面的表面边长为的等边三角形,故其面积为,故选B【答案点睛】本题考查了几何体的三视图问题,解题的关键是要能由三视图解析出原几何体,从而解决问题11B【答案解析】根据共轭复数定义及复数模的求法,代入化简即可求解.【题目详解】在复平面内对应的点的坐标为,则,代入可得,解得.故选:B.【答案点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义,复数模的求法及共轭复数的概念,属于基础题.12A【答案解析】根据题意到两个平面的距离相等,根据等体积法得到,得到答案.【题目详解】二面角与二面角的平面角相等,故到两个平面的距离相等.故,即,两三棱锥高相等,故,故,故为中点.故选:.【答案点睛】本题考查了二面角,等体积法,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【答案解析】由向量平行的坐标表示得出,求解即可得出答案.【题目详解】因为,所以,解得.故答案为:【答案点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数,属于基础题.147【答案解析】由题,得,令,即可得到本题答案.【题目详解】由题,得,令,得x的系数.故答案为:7【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用,属基础题.1513【答案解析】根据题意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不满足条件,故得到此时输出的b值为13.故答案为13.16【答案解析】由已知可得、的坐标,求得的垂直平分线方程,联立已知直线方程与椭圆方程,求得的垂直平分线方程,两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标,再由导数求最值【题目详解】如图,由已知条件可知,不妨设,则外心在的垂直平分线上,即在直线,也就是在直线上,联立,得或,的中点坐标为,则的垂直平分线方程为,把代入上式,得,令,则,由,得(舍)或当时,当时,.当时,函数取极大值,亦为最大值故答案为:.【答案点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用,训练了利用导数求最值,是中等题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1),(2)【答案解析】(1)利用,代入可求;消参可得直角坐标方程. (2)将的参数方程代入的直角坐标方程,与有交点,可得,解不等式即可求解.【题目详解】(1)(2)将的参数方程代入的直角坐标方程得:
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