换元同构齐飞换元同构齐飞，合作合作开创共赢开创共赢 轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法 （2020 版，湖南师范大学出版社，淘宝网即将售完） 陈永清 2021.1.1 现在有很多恒成立命题，可以直接用同构法完成，因为对不等式（或方程）容易进行同构变形，但也有一些不等式（或方程）好像没有同构的启发，不容易朝同构的方向变形，那么可以尝试使用换元法，有时可以收到事半功倍之效。 换元法怎么使用，看看下列例题的解答过程，就可以领悟。当然，换元法不一定是最简单的方法，但它可以为我们打开一种新的解题思路。在此抛砖引玉，欢迎指正！ 例 1.已知0是方程34+ 2ln 4 = 0的一个根，则402+ 2ln0的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C. 解析： （法 1，同构法）34+ 2ln 4 = 0 +3ln4+ ( + 3ln 4) = + ln = ln+ ln， 令() = + ，由于它为增函数，所以由( + 3ln 4) = (ln)，得 + 2ln = 4， 所以402+ 2ln0= ln0+ 2ln0= 0+ 2ln0= 4. （法 2，换元法）令34= 4 2ln = ，则3ln + 4 = ln4 2ln = ln + = ln + = ， 所以 + 2ln = 4，所以402+ 2ln0= ln0+ 2ln0= 0+ 2ln0= 4. 例 2.已知函数() = e ln( ) + ( 0)，若关于的不等式() 0恒成立，则实数的取值范围是（ ） A.(0,e2 B.(0,e2) C.1,e2 D.(1,e2) 答案：B. 解析： （法 1，同构法） () = e ln( ) + 0 1e ln( 1) 1 eln ln ln( 1) 1 eln+ ln eln(1)+ ln ( 1)， 令g() = e+ ，显然g()为增函数. 则原命题又等价于g( ln) g(ln( 1) ln ln( 1) ln ln( 1). 由于 ln( 1) ( 2) = 2，所以ln 2，即得0 0 1e ln( 1) 1 ln( 1) 1 = 1e ln( 1) 1 = ln ln 1 + ln( 1) + ln 1 1 ln( 1) 1. ln ln( 1). 由于 ln( 1) ( 2) = 2，所以ln 2，即得0 0， 3+ 2ln 0 2ln2=12ln12 (ln12)ln12 () (ln12)， 其中() = ( 0)，易知()为增函数，所以 ln12= 2ln，即 2ln 令g() = 2ln(0 g(1) = 2，所以 2. （法 2，换元法）显然只需考虑 0， 3+ 2ln 0 3 2ln 2ln = 3 2ln = ln + 3ln + ln， 两式相加，ln + ln + ln + ，即ln + ln + ， 可得 ，即 2ln，即 2ln， 令g() = 2ln(0 g(1) = 2，所以 2. 例 4.若对任意的 1，不等式ln+1+ 1 恒成立，则实数的最小值为（ ） A.2e B.1 C.e D.2 解析： （法 1，同构法）ln+1+ 1 ln( + 1) + 1 +ln+ ln ln( + 1) + + 1 +ln+ + ln， ln( + 1) + ln(+1) +ln+ ( + ln). 令() = + ，由于()为增函数，所以ln( + 1) + ln，即ln ln( + 1)， 所以ln 0，解得 1. （法 2，换元法）ln+1+ 1 = ln+1+ 1 = ln+1+ 1ln ln + + ln ( + 1) + ln( + 1) + 1 ln+1+ 1 + 1 +1 +1 从而由导数法可得 1. 例 5.已知函数() = ln. （1）求()的最小值； （2）若() + 2+ ln 0对 (0,+)恒成立，求实数的取值范围。 简析： （1）()= (1) = 1； （2） （法 1，同构法）()+ 2+ ln 0 ln + 2+ln+ ln 0 2 + ln + 2+ln + ln e2+ln+ ln2+ln + ln 2+ln 2 + ln ln ln ln 2 2，由导数法易得 12. （法 2，换元法）() + 2+ ln 0 2 ln ln ln ln = 2 ln ln = 2 + ln ln ln + ln + ln ln ln ln 2 2，由导数法易得 12. 例 6.已知不等式1+ 1 ln( 1)对任意 1恒成立，则实数的取值范围是_. 答案：0 0；由于 =1+ 1 与 = ln( 1)互为反函数， 所以只需1+ 1 ，即11对 1恒成立， 由导数法易得112，所以0 ln( 1) 1 ln( 1) 1 ln( 1) 1 = 1 ln( 1) 1 = ln ln 1 + ln( 1) + ln 1 1 ln( 1) 1. ( 1) 1，由导数法可得0 0，函数() = 2+ ，若() 0恒成立，则实数的取值范围是（ ） A.(0,1 B.(0,4 C.1,4 D.(1,+) 答案：B. 解析： （法 1，反函数法，超纲）2+ 0 2+ ，由于两边互为反函数， 所以命题等价于2+ ( 1)恒成立，即2+ ( 1)恒成立， 又即 21( 1)恒成立。 由于21=(1)+121= ( 1) +11+ 2 4. 所以0 2+ 1 112 0 0，若 2ln( + ) 在定义域内恒成立，则的最大值为_. 解析： （法 1，反函数法，超纲） 2ln( + ) ln( + )，由于两边互为反函数， 所以只需 ，即 + ， 令1= ，得 = 2ln，代入上述不等式，得 2 22ln， 所以 ( 2ln)，设() = ( 2ln)， 由导数法易得()= (1) = 。 所以的最大值为 e. （法 2，换元法） 2ln( + ) ln( + ) ln( + ) = = + + + ，以下略. 附：同构法思维导图 说明：以上内容将编入 2022 新教材版轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法 （预计 2021 暑假出版） 。