关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 1 公众号 逻辑数学精品课 深度系列讲义之 平面向量结论深度系统讲义 2020/09/05 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 2 目录 总述 . 3 第 1 篇：向量共线模型与等和线 . 4 第 2 篇：常用结论串联 . 15 极化恒等式、阿波罗尼斯定理、对角线向量定理、空间余弦定理、矩形平行四边形大法 . 15 第 3 篇：奔驰定理与三角形四心 . 26 第 4 篇：平面向量与斜坐标系 . 38 微信公众号：逻辑数学精品课 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 3 平面向量结论深度系统讲义 总述 主编：徐伟（18663795717） 编委：满在伟 钟仁杰 继【圆锥曲线二级结论易记深度讲义】之后，公众号又推出【平面向量深度系统讲义】 ，共计 4 篇内容，系统涵盖了高中阶段突破向量专题所必备的十几种解题方法与结论！ “深度”系列讲义（目前发布了解几、向量两个专题的一部分）一经发行，便受到了广大师生朋友的支持与喜爱，在此本公众号谨代表“深度”系列讲义的创作团队向支持我们的读者朋友致以最诚挚的谢意， 大家的支持是我们不断创作优质讲义的最大动力. 近期有读者朋友， 在后台留言反馈， 对 “深度” 系列讲义提出了非常宝贵的建议，收到反馈后创作团队积极调整，对“深度”系列讲义的形式和内容进行了优化，主要体现在：结构上增加了学以致用版块，方便老师留作业以及学生课后巩固，形式上去掉了水印，使讲义使用起来更纯净、实用，内容上更加注重知识结构的系统性与连贯性，在例题的选取上也更为注重认知规律，尽量由易到难、由简到繁，做有深度、高质量、能帮助老师业务提升、课上培优的优质讲义，一直在路上！ 4 篇内容已在公众号“逻辑数学精品课”更新，电子版讲义已经发送至QQQQ 群：群：4 43988356039883560，在群内可自行下载，群内优质数学资料持续更新中. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 4 第 1 篇：向量共线模型与等和线 微信公众号：逻辑数学精品课 定理一 平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数 1、2，使 a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 一个平面向量 a 能用一组基底 e1，e2表示，即 a1e12e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。微信公众号：逻辑数学精品课 定理二 平面向量共线定理 若点 A,B,C 互不重合，P 是 A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且满足PCxPAyPB=+，则 A,B,C 三点共线1xy+=. 证明: 由=+1yxA,B,C 三点共线. 由1=+ yx得：(1)()PCxPAyPBxPAx PBPCPBx PAPBBCxBA=+=+=. 即BC，BA共线，故 A,B,C 三点共线. 由 A,B,C 三点共线1xy+=.微信公众号：逻辑数学精品课 由 A，B，C 三点共线得BC，BA共线，即存在实数x使得BCxBA=.故PBxPAxPCPBPAxPBPC)1 ()(+=.令xy=1，则有1=+ yx. “爪”字型图: 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 5 在ABC 中，D 是 BC 上的点，如果nmCDBD:=，则ABnmnACnmmAD+=，其中AD，AB，AC知二可求一. 特别地，如果 AD 是 BC 边上的中线，则1122ADACAB=+. 定理三 等和线定理 平面内一组基底,OA OB及任一向量OP，OPOAOB=+，若点 p 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则k=+（定值） ，反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线。微信公众号：逻辑数学精品课 反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线AB平行的直线称为等和线. 当等和线恰为直线 AB 时，1=k. 当等和线在 O 点和直线 AB 之间时，) 1 , 0(k. 当直线 AB 在 O 点和等和线之间时，), 1 ( +k. 当等和线过 O 点时，0=k. 若两等和线关于 O 点对称,则两定值(k)互为相反数. 定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比微信公众号：逻辑数学精品课 对上述 6 条结论的理解（特别是对第条的理解） ： nmABCD关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 6 如图，12nlll 设1OPOAOB=+,由定理二 平面向量共线定理知1=+， 设1nOPxOP=，nOPmOAnOB=+ 于是1()nOPxOPxOAOBx OAx OB=+=+ 由定理一 平面向量基本定理知mxnx= 所以()mnxx+=+= 强调一点：其中1nOPxOP=微信公众号：逻辑数学精品课 通过以上过程，关于等和线的 6 条结论应该可以轻松理解啦. 等和线定理主要用于处理向量分解时的系数最值问题微信公众号：逻辑数学精品课 l1l2lnQ2Q1P2P1AOBPnQn关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 7 典型例题 1.若 D 为ABC所在平面的一点，3BCCD=，则（ ）. A. ACABAD3431+= B. ACABAD3431= C. ACABAD3134+= D. ACABAD3134= 解析：如图，由“爪”字型图得: 1344ACABAD=+,移项化简得：ACABAD3431+=，故选 A. 微信公众号：逻辑数学精品课 2.已知点 G 是ABC的重心，过点 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且ABxAM =，ACyAN =，求yx11+的值. 微信公众号：逻辑数学精品课 解析：因为点 G 是ABC的重心，所以1133AGABAC=+,又AGAMANxAByAC=+=+ 13ABDCyxMGDACBN关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 8 因为,M N G三点共线，所以1+=，由平面向量基本定理知：1313xy= 于是：1313xy=，代入式得：1113033xyxyxy+= +=，同时除以xy得113xy+= 点评：通过对一个向量写两遍，借助平面向量基本定理和共线定理列等量关系，求解未知量，是处理此类问题的基本思路 微信公众号：逻辑数学精品课 3.如图所示,在平行四边形 ABCD 中，13AEAB=,14AFAD=,CE 与 BF 相交于 G点，记ABa=，ADb=，则AG =_ A2177ab+ B. 2377ab+ C. 3177ab+ D. 4277ab+ 解析： （写两遍） 因为(1)AGxAEx AC=+ , 又1133AEABa=,ACab=+ 所以12(1)()(1)(1)33xAGxax abax b=+=+ 同理(1)AGyABy AF=+ ，又 1144AFADb=， ， 所以1(1)4AGyayb=+微信公众号：逻辑数学精品课 GCDBAEF关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 9 结合平面向量基本定理，由两式可得：213114xyyx= ，解得6737xy= 所以3177AGab=+. 点评：通过对一个向量写两遍，借助平面向量基本定理和共线定理列等量关系，求解未知量，是处理此类问题的基本思路 4.已知为的外心，若，则_.微信公众号：逻辑数学精品课 解法 1：如图：在中，由余弦定理得：1164 16 ()2 72BC =+ = 于是外接圆半径：72 21sin1203R = 又由114 2 sin1202 722ABCSAF= =微信公众号：逻辑数学精品课 解得：2 217AF = 222 2121()( 7)33FGHO=,所以13 2121AGAFFG=+= 于是由等和线定理得12136AGAF+= OABC120, 2, 4=BACACABACABAO21+=+2142HFGEOBCAABC关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 10 解法 2：212212AO ABABAC ABAO ACAB ACAC=+=+，得12128164244= +，解得125686=， 故12136+=.微信公众号：逻辑数学精品课 5.如图，在直角梯形中， ，动点在以点为圆心， 且与直线相切的圆上或圆内移动， 设（ ，） ，则取值范围是 . 微信公众号：逻辑数学精品课 解析：如图，设任意一点，过点P作BD平行线l，过A作1AEBD并延长1AE垂 线 交l于 点1P， 由1AD ABBD AE= , 求 得12 55AE = , 易 知 ，5sinsin5ABDBDC=,所以5sin5RCHDCBDC= 由等和线定理得：1112 55APAPAPAEAE+=,于是当点P运动至与点H重合时， 对应的+取到最小值为1，当点P运动至图中P点位置时，1AP取到最大值即114 525APAER=+=， 对应的+取到最大值， 即114 5522 55APAPAEAE+= HEE1P1BDCAP关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 11 于是所求取值范围是1,2. 微信公众号：逻辑数学精品课 6.如图,在扇形 OAB 中,60AOB=,C 为弧 AB 上的一个动点.若OCxOAyOB=+，则3xy+的取值范围是 解析：如图，在 OB 上取一点 D，使 OB=3OD，设OCADE=， 则有3OCxOAyOBxOAyOD=+=+，过点C作CFAD交OB于F,由等和线定理得3OCOFxyOEOD+=，易知当点 C 和点 A 重合时OFOD达最小值 1，当点 C和点 B 重合时OFOD达最大值 3，故31,3xy+. 微信公众号：逻辑数学精品课 学以致用 1. 如图， 在ABC 中，13ANNC=， 点 P 是 BC 上的一点， 若211APmABAC=+，则实数 m 的值为（ ） A911 B. 511 C. 311 D. 211 答案：C FEBOADCABCNP关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 12 2. 在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若AB mAM，ACnAN，则 mn 的值为 微信公众号：逻辑数学精品课 答案：2 3.在ABC中，D 为 BC 边的中点，H 为 AD 的中点，过点 H 作直线 MN 分别交AB， AC 于点 M， N， 若AMxAB=，ANyAC=， 则yx4+的最小值是 （ ） . A. 49 B.2 C.3 D.1 答案：A 微信公众号：逻辑数学精品课 NOABCMNHDABCM关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 13 4.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，则的最小值是 . 答案：3 微信公众号：逻辑数学精品课 5.如图,四边形是边长为 1 的正方形,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于 答案：43 微信公众号：逻辑数学精品课 ABCDBC4BCBD=D,AB AC,M NAMAB=(0,0)ANAC=3+NABCDMOABC3=ODPBCD( ,)OPOCODR =+BCAOPD关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 14 6.O 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若APABAD=+，则+的最大值为微信公众号：逻辑数学精品课 A3 B22 C5 D2 答案：A 微信公众号：逻辑数学精品课 DABCP