学习数学领悟数学秒杀数学专题 13同构式下的函数体系165专题专题 13同构式下的函数体系同构式下的函数体系秒杀秘籍：第一讲 同构式的三问三答问题一：同构式到底是什么？同构式源于指对跨阶的问题，xex与xxln属于跨阶函数，而xexln属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进行同构，即1lnlnln)(ln1)(xxxxxxxhxeexxexhxxx我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算问题二：同构式能解决什么问题？同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题问题三：同构式怎么构造？如何选取函数？同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用)(xh表示，这个母函数需要满足：指对跨阶；单调性和最值易求；通常，1)(xeexxexhxxx，基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了下面，我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析秒杀秘籍：考点 1 利用同构式单调性秒杀【例 1】 （2018武邑期中）设实数0，若对任意的(0,)x，不等式0 xlnxe恒成立，则的取值范围是【解析】0 xxlnxeelnx，由于指数和对数的“跳阶”问题，故需要构造连续的“跨阶”函数来化简，故不等式两边同乘以x，构成xxexlnx，乘法的式子构造xxexh)(，故不等式满足)(ln)(xhxh，易知)(xh在区间), 0( 为增函数，即xxln恒成立，exx1)ln(max，故答案为),1e.注意：1)(xeexxexhxxx在区间), 0( 为增函数， 当构造)()(xqhxph恒成立的时候， 只需要)()(xqxp学习数学领悟数学秒杀数学专题 13同构式下的函数体系166恒成立即可.由于( )xh xxe=在()1,- +，这个在秒 1 中已经详细介绍，这里不再详述.xxxpln)(在区间(0, ) e ，在( ,)e +，易知eepxp1)()(max.【例 2】设0k ，若存在正实数x，使得不等式2log20kxxk成立，则k的最大值为（）A21log eeB12lneC2logeeD122ln【解析】关于指对“跳阶”中出现的原函数和反函数问题，一定可以使用同构式构造，由于同构式必须要构造连续的“跨阶”函数，故构造xxexh)(，此题中，ln222lnlln()lnln2ln2og2kkxxkxxkexkexk，显然两边需要乘以x即可，即ln2lnln2(ln )(ln2)kxxxkxehxh kx，由于xxexh)(为单增函数，故只需存在正实数x，使得lnln2xkx，即lnln2xkx，易知1lnxex，故1ln2ke，即21logkee，故选A.注意：我们会介绍几个重要的“亲戚函数”，xxe、xxln、xex、xxln利用它们之间的同构式原理来快速求出最值【例 3】 （2019长郡中学月考）已知函数 ln133f xmxx，若不等式 3xf xmxe在0,x 上恒成立，则实数m的取值范围是【解析】 法一： ln1333ln13(1)3xxf xmxxmxemxxmxe， 令( )3xh xmxe即(ln(1)( )hxh x恒成立，由于ln(1)xx，故函数( )h x 对0,x 上恒成立，即( )30 xh xme，解得min33xme，故答案为3m .法二： ln133333(1)ln1xxf xmxxmxeexmxmx，构造函数( )1xh xex，则3 ( )(ln(1)h xmhx，这里要用到我们接下来讲的同构式“保值性”，由于ln(1)xx恒成立，取等条件为0 x ，不在定义域内，故ln(1)xx恒成立，所以当3m 时，3 ( )(ln(1)h xmhx恒成立，故答案为3m .【例 4】 （2019衡水金卷）已知0a 恒成立，则实数a的最小值是（）Ae21Be2Ce1De【解析】由题意得：1ln1ln1111ln0lnlnlnaaxxxaaaaaaxxeaxxeexxxxxx+-=对1x 恒成立，此时maxlnxax -，即ae -，故选 D.注意：这一类均是属于外函数xxexh)(的同构式模型，那么在xexxh)(或者1)(xexhx的模型会是什么情况呢？秒杀秘籍：秒杀秘籍：考点 2 同构式问题构造恒等式：x+exex+lnex构 造 函 数xexxh)(， 易 知)(xh在 区 间), 0(， 根 据01)(xexpx恒 成 立 ， 则学习数学领悟数学秒杀数学专题 13同构式下的函数体系16701ln)(lnxxxp恒成立，当仅当0lnx，即1x时等号成立.由此能得到恒等式：exxxln1ln，所以再利用同构式)(ln)(exhxh，即exexexxln恒成立，当仅当1x时等号成立.【例 5】 （2019榆林一模）已知不等式1xekxlnx ，对于任意的(0,)x恒成立，则k的最大值【解析】此题构造乘法的同构显然不可能，因为不等式两边同时乘以x，kx将变成平方，无处遁形，并且出现xe和xln，常数项为 1，构造函数xexxh)(，根据题意，ln+lnxxekxexexkxexx，在此基础上进行同构式转换，即xekexhexexexxkxxexkx)1()(lnlnln，原不等式可以转化为同构式xekexhxh)1()(ln)(， 由于)(ln)(exhxh恒成立， 且当仅当1x时等号成立.故10ke+ -，即1ke-一、通过平移和拉伸得到的同构函数如图 1：根据求导后可知： xexxf在区间1,，在区间 , 1， efxf11min图 1图 2图 3图 4如图 2：1111xefexeexxx，即将 xf向右平移 1 个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得xexy1在区间0 ,，在区间, 0，当0 x时，1miny如图 3：222222xfeexeexxx， 即将 xf向右平移 2 个单位， 再将纵坐标扩大为原来的2e倍，故可得xexy2在区间1 ,，在区间, 1，当1x时，eymin如图 4：111111xfeexeexxx， 即将 xf向左平移 1 个单位， 再将纵坐标缩小为原来的e1倍，故可得xexy1在区间2,，在区间 , 2，当2x时，2min1ey二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数如图 5：xfexexyxx，即将 xf关于原点对称后得到xexy ，故可得xexy 在区间1 ,，在区间, 1，当1x时，ey1max图 5图 6图 7图 8学习数学领悟数学秒杀数学专题 13同构式下的函数体系168如图 6：11111) 1(xfeexeexyxx，即将 xf关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，得到xexy1，故可得xexy1在区间2 ,，在区间, 2，当2x时，2max1ey如图 7：110 xxeyxxx efx ，属于分式函数，将 xf1关于原点对称后得到，故可得xeyx在区间1 , 0，在区间, 1，当1x时，eymin如图 8：111110111xxeyxxexee fx ，属于分式函数，将 xf1关于原点对称后，左移一个单位， 再将纵坐标缩小e1倍， 故可得1xeyx在区间 0 , 1， 在区间, 0， 当0 x时，1miny三、通过取反函数构成的同构函数图 9图 10图 11图 12如图 9：xfxexxxlnlnlnln，当1,lnx，即ex1, 0，当, 1ln x，即,1ex，ey1min如图 10：xfxxxxlnlnln11，实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当1,lnx，即, ex，当, 1ln x，即ex, 0，ey1max如图11：exefexexexxlnln1ln， 当1,lnex， 即 , 1x， 当, 1lnex， 即1 , 0 x，1maxy如图 12：2222ln21ln21lnxfxxxx，当1,ln2x，即, ex，当, 1ln2x，即ex, 0，ey21max注意：xxyln可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构原理，达到举一反三的目的例题中我们会以xxyln为模板进行求最值讨论.【例 7】 （2019凌源市一模）若函数2( )xf xeax在区间(0,)上有两个极值点1x，212(0)xxx，则实数a的取值范围是（）A2eaBaeCa eD2ea 学习数学领悟数学秒杀数学专题 13同构式下的函数体系169【解析】 由题意得：02)(axexfx有两个实根， 即 xexgayx 2有两个交点， 如图 7 所示，xeyx在区间1 , 0，在区间, 1，当1x时，eymin；,2ea，2ea ，故选 D【例 8】 （2019广州一模） 已知函数| |2( )xf xeax， 对任意10 x ，20 x ， 都有2121()( ()()0 xxf xf x，则实数a的取值范围是（）A2,(eB(,2e C0, 2eD,02e【解析】由题意可知函数( )f x是)0(，上的单调递减函数，且)(xf为偶函数，则)(xf在区间)0(，单调递增， 当0 x时，2)(axexfx，02)(axexfx对), 0( x恒成立， 即exeaxmin)(2，2ea ，故选 A【例 9】 （2019荆州期末）函数1( )lnxf xxx的单调增区间为（）A(,1)B(0,1)C(0, ) eD(1,)【解析】exexexxxflnln1)(， 由于函数xxln在区间), 0(e，),(e， 则exexexfln)(， 当), 0(eex，即1 , 0 x时，)(xf，故选 B【例 10】 （2019广州期末）函数2( )f xxlnxmx有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A1(0, )2B(,0)C(0,1)D(0,)【解析】021ln)(mxxxf有两个根，则exexemln2，由于函数xxln在区间), 0(e，),(e，最大值为e1，参考图 10，故exexemexexemln2ln2有两根时满足eem120，即210 m，故选 A达标训练达标训练1对于下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数（1）02log2kxkx（2）0ln12xex（3）0ln2xmmexx（4）xxxeaaxln)1(2) 1(（5）xeaxxxa2) 1(2) 1ln(（6）) 1(lnxxexaxax（7）0ln2xxex（8）0ln2xexx2若对任意0 x，恒有xxxeaxln)1(2) 1(，则实数a的最小值为3对任意0 x，不等式0lnln22axaex恒成立，则实数a的最小值为4已知0 x是方程222ln0 xx ex+=的实根，则关于实数0 x的判断正确的是学习数学领悟数学秒杀数学专题 13同构式下的函数体系170A0ln2x B01xeC002ln0 xx+=D002ln0 xex+=5已知0 x是函数2ln)(22xexxfx的零点，则02ln0 xex6若关于x的方程33klnxx只有一个实数解，则k的取值范围是7设实数0，若对任意的(0,)x，不等式202xlnxe恒成立，则的最小值为8设实数0m ，若对任意的xe，若不等式2ln0mxxxme恒成立，则m的最大为9 （2019武汉期末）已知函数 lnxf xxxa e（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A1(0, )eB1( ,e)eC1(, )eD(, ) e10 （2018荆州期末）函数1( )lnxf xxx的单调增区间为（）A(,1)B(0,1)C(0, ) eD(1,)11 （2018沈阳期末）函数2( )xef xx在(,)m上单调递减，则实数m的最大值为（）A12B0C12D112.