关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 公众号 逻辑数学精品课 深度拔高系列之 导数 2020/09/16 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 导数-深度拔高系列讲义 第 3 篇 构造函数解决函导压轴小题 （内附：万能积分法+不定积分详解） 总编：山东济南徐伟 目录 一、技能储备 .3 情境一.常规构造 . 3 题型：指幂型 . 3 题型：三角型 . 5 题型：对数型 . 5 情境二.非常规构造 . 5 题型 1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于( )f x和( )fx之外的项( )t x . 5 题型 2：若干常规构造模型组合（附：万能积分法） . 9 二、拓展：不定积分 . 12 一、原函数与不定积分 . 12 二、基本积分表 . 13 三、不定积分的性质 . 13 四、计算方法 . 14 NO.1 第一类换元积分法（凑微分法） . 14 NO.2 第二类换元法 . 15 NO.3 分部积分法（凑微分法） . 16 三、典型例题 . 17 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 一、技能储备 【引例】已知函数的图象关于 y 轴对称,且当(,0)( )0),(f xxfxx +成立，0.20.22(2)af=g，log 3(log 3)bf=g，33log 9(log 9)cf=g,则, ,a b c的大小关系是 ( ) . Aabc .B acb .C cba .Dbac 类似于引例，在已知( )( )0f xxfx+这种导数相关式（等式或不等式）的前提下，让我们解与( )f x相关的不等式或比较大小的题目，这种问题的难点是如何通过导数相关式构造出与( )f x相关的单调性可推算的新函数（有时也直接求出( )f x的解析式）进而求解问题构造新函数是解决这类问题的通法也是难点，下面我们就以导数相关式的种类为依据进行分类，分别介绍不同类型下如何构造新函数.微信公众号：逻辑数学精品课 情境一情境一. .常规构造常规构造 题型：指幂型题型：指幂型 【解题模型解题模型】 1. 若( )( )0f xfx+，则可构造函数( )( )xG xef x=； 2. 若( )( )0f xfx，则可构造函数( )( )xf xG xe=； 3. 若( )2( )0f xfx+，则可构造函数12( )( )xG xef x=； 若( )( )0f xnfx+，则可构造函数1( )( )xnG xef x=，(*nN). 4. 若( )2( )0f xfx，则可构造函数12( )( )xf xG xe=； 若( )( )0f xnfx，则可构造函数1( )( )xnf xG xe=，(*nN). 5. 若2 ( )( )0f xfx+，则可构造函数2( )( )xG xf xe=；微信公众号：逻辑数学精品课 若( )( )0nf xfx+，则可构造函数( )( )nxG xf xe=，(*nN). 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 6. 若2 ( )( )0f xfx，则可构造函数2( )( )xf xG xe=； 若( )( )0nf xfx，则可构造函数( )( )nxf xG xe=，(*nN). 7. 若( )( )0f xx fx+，则可构造函数( )( )G xx f x=； 8. 若( )( )0f xx fx，则可构造函数( )( ),(0)f xG xxx=； 9.若22( )( )0 x f xxfx+，则可构造函数2( )( )G xxf x=； 若2( )( )0f xx fx+，则可构造函数2( )( )G xxf x=(注意x的正负)； 若( )( )0n f xx fx+，则可构造函数( )( )nG xxf x=(注意x的正负)； 10. 若( )( )0n f xx fx， 则可构造函数( )( )nf xG xx=(注意x的正负，n的奇偶)； 【模型模型记忆】记忆】 鉴于此类模型较多，现总结如下口诀，方便记忆 准备：准备：运用口诀之前须将条件中的导数相关式变形为：不等号右边为 0 且( )fx前无常数系数的标准形式标准形式. 微信公众号：逻辑数学精品课 口诀：口诀： 1 1. .加乘减除加乘减除 即即：若( )fx与( )f x用加号相连，那么最终所构造的函数应该为两项相乘的形式； 若( )fx与( )f x用减号相连，那么最终所构造的函数应该为两项相除的形式 注注：相乘/相除的两项指的是( )f x与( )nt x（表示关于）或( )f x与nxe 2.2. 有幂无有幂无e 即即：若导数相关式中的( )fx项前有x相关量( )t x相乘则进行幂函数构造，也就是说构造的最终结果由( )f x与( )nt x两项组成；否则进行指数函数构造，也就是说构造的最终结果由( )f x与nxe两项组成. 注：注：n为多少？请看口诀 3微信公众号：逻辑数学精品课 3 3. . n看看f 在标准形势下的导数相关式中的( )f x项前系数的绝对值即为nx或nxe中的n 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 题型：三角型题型：三角型 【解题模型解题模型】 11. 若( )cos( )sin0f xxfxx+，则可构造函数( )sin( )G xx f x=； 若( )( )tan0f xfxx+， 则可构造函数( )sin( )G xx f x=(注意x的取值范围)； 12. 若( )cos( )sin0f xxfxx，则可构造函数( )( )sinf xG xx=； 若( )( )tan0f xfxx，则可构造函数( )( )sinf xG xx= (注意x的取值范围)； 题型：对数型题型：对数型 【解题模型解题模型】 微信公众号：逻辑数学精品课 13. 若( )ln( )0f xx fxx+，则可构造函数( )ln( )G xx f x=； 若( )ln( )0f xxx fx+，则可构造函数( )ln( )G xx f x=； 14. 若( )ln( )0f xx fxx，则可构造函数( )( )lnf xG xx=(0,1xx)； 若( )ln( )0f xxx fx，则可构造函数( )( )lnf xG xx=(0,1xx)； 情境二情境二. .非常规构造非常规构造 题型题型 1 1：在常规构造的基础上，导数相关式中存在独立于( )f x和( )fx之外的项( )t x 题型概述：由于导数相关式中存在独立于( )f x和( )fx之外的项，也就意味着我们通过情境一中的模型构造完函数( ( )G f x之后，还存在未被构造的项( )t x，此时面临的问题是：如何处理( )t x，我们有如下处理策略： 【解题策略】【解题策略】 策略 1.间接表示( )f x“周边” 借助情境 1 中的若干模型构造得出( ( )G f x，并与( )t x的组合式，进而间接表示( )f x的相关属性，展开讨论.（详见下文：典例 1、3、4）微信公众号：逻辑数学精品课 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 策略 2.直接求解( )f x解析式（借助不定积分） 由 ( ( )G f x与( )t x的组合式出发，通过不定积分直接求解确定的( )f x解析式（详见下文：典例 1、2）微信公众号：逻辑数学精品课 说明： 若导数相关式是等式则上述两种策略一般都可采用； 若导数相关式是不等式， 一般仅采用策略 1 不定积分是高等数学中的内容，在我们高中阶段鲜有涉及，即便涉及也十分简单（就像典例 3 中的积分一样） ，这也就是说，如果在做题时我们遇到了由导函数不易求出原函数的情况（如典例 3） ，那就说明出题人的意图并不是让我们去求原函数，即这道题不求原函数也能解决，比如通过：策略 1.间接表示( )f x“周边”解题；另一方面，尽管出题意图不是让我们去求原函数，但是我们依然可以通过求出原函数解题，也就是本文我们说的：策略 2. 通过不定积分直接求解( )f x解析式 为了进一步拓宽同学们的解题视野， 同时为解题提供更多的可能性， 在下文我们会对不定积分进行一个系统契合当下的介绍： 题型题型 1 1.1.1：导数相关式为等式：导数相关式为等式 【典例 1】设函数( )f x满足ln1( )( ),( ),xxfxf xf exe+=则函数( )f x（ ） .A在(0, ) e上单调递增，在( ,)e +上单调递减； .B在(0,)+上单调递增； .C在(0, ) e上单调递减，在( ,)e +上单调递增； .D在(0,)+上单调递减； 【答案答案】.D 【解析】【解析】微信公众号：逻辑数学精品课 法一法一：间接表示间接表示( )f x“周边”“周边” 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取解析版学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 由ln( )( ),xxfxf xx+=得ln( )xxf xx =， 设( )( )G xxf x=, 其 中ln( )xG xx=， 则( )( )G xf xx=，于是22( )( )ln( )( )G x xG xxG xfxxx=，令( )ln( )h xxG x=，则11 ln( )( )xh xG xxx=， 所以当(0, )xe时( )0h x， 当( ,)xe+时( )0h x， 所以max( )( )ln( )0h xh eeG e=，所以( )0h x 恒成立，所以( )0fx恒成立，于是( )f x在(0,)+上单调递减. 微信公众号：逻辑数学精品课 法二：法二：直接求解直接求解( )f x解析式解析式 说明：关于“不定积分”下文会详细介绍，对法二理解有困难的同学可以先学习下文 由法一得： ln( )xxf xx =，要想求( )f x单调性，只需求出( )f x解析式再求导即可，要想求( )f x解析式只需求ln xx的原函数即可（即求出谁的导函数是ln xx） ，ln xx的原函数我们称之为ln xx的不定积分，记为ln xdxx，在此我们求ln xdxx既可通过分部积分法计算也可通过第一类换元积分法来计算： 求原函数方法一：第一类换元积分法 ln= lnlnxdxxdxx，令ln xt=，则原式2211(ln )22tdttCxC=+=+ 求原函数方法二：分部积分法 2lnln= lnln(ln )xxdxxdxxdxxx=， 从而2ln1(ln )2xdxxCx=+ 于是21( )(ln )2xf xxC=+,即2(ln )( )2xCf xxx=+，又因为1( ),f ee=代入得12C = 于是2(ln )1( )2xf xx+=2222222(ln )4ln2(ln )2ln1(ln1)( )0422xxxxxfxxxx+=恒成立，所以( )f x在(0,)+上单调递减 【典例 2】设函数( )fx是函数( )()f x xR的导函数，(0)1,f=且3 ( )( )3,f xfx=则4 ( )( )f xfx的解集为（ ）微信公众号：逻辑数学精品课 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深