圆锥曲线圆锥曲线常见条件翻译转化常见条件翻译转化 第一节第一节: :三角形的面积表达三角形的面积表达 一、直线一、直线l与圆锥曲线与圆锥曲线C的位置关系的判断的位置关系的判断 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程0AxByc+= 代入圆锥曲线C的方程(),0F x y = ,消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的 一元二次方程,即()0,0AxBycF x y+= ,消去y后得20axbxc+= (1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时, 若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线 的对称轴平行 (2) 当0a 时,0 ,直线l与曲线C有两个不同的交点; 0 =,直线l与曲 线C相切,即有唯一的公共点(切点); 0 ,所以12,x x是方程20AxBxc+=的根,由根与系数关 系(韦达定理)求出1212,BCxxx xAA+= = , 所以,A B两点间的距离为 ()22221212121141ABkxxkxxx xkA=+=+=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y的形式 ()()2221212121140ABkyykyyy yk=+=+ 三、三角形面积求法三、三角形面积求法 方法 12底 高 Cabsin21 1212121211:,22SFFyySFFxx=拆分 适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单 简单 简单 【基础】【基础】 【例 1】.设12FF，分别是椭圆2221 0+1yExbb=：（ ） 的左、右焦点,过1F的直线l与E相交于AB、两点,且22| | |AFABBF，成等差数列. (1)求|AB; (2)若直线l的斜率1为,求b的值. 【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得| =43 (2)L 的方程式为 y=x+c,其中 = 1 2 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组 = +2+22= 1., 化简得(1+b2)x2+2cx+12b2=0.则1+2=21+2,12=1221+2. 因为直线 AB 的斜率为 1,所以| = 2|2 1|即43=2|2 1|. 则89= (1+ 2)2 412=4(12)(1+2)24(122)1+2=84(1+2)2.解得 =22. 【例 2】.如图,12FF，分别是椭圆C:22+22= 10ab（ ）的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线2AF与椭圆C的另一个交点,1260F AF=. (1)求椭圆C的离心率; (2)已知1AFB的面积为40 3,求ab，的值. 【解答】解:(1)F1AF2=60a=2ce=12. (2) 设 |BF2|=m, 则 |BF1|=2a m, 在 三 角 形BF1F2中 ,|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|22|BF2|F1F2|cos120(2am)2=m2+a2+am.m=35. AF1B 面积 S=12|BA|F1A|sin60 12 ( +35) 32=403a=10,c=5,b=53. 【例3】 .过抛物线22(0)ypx p=的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于,A B两点,若线段AB的长为8,则p =_. 【解析】 设过焦点(,0)2pF且倾斜角为 45的直线方程为2pyx=,联立直线方程与抛物线方程得222pyxypx=,消y得22304pxpx+=. 设A,B 两点的坐标为11(,)x y,22(,)xy,则121234xxppx x+=, 故2121 1ABxx=+=212122()4xxx x+222(3 )pp2 2 2p4p8,则p2. 【例 4】.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个顶点为(2,0)A,离心率为22, 直线(1)yk x=与椭圆C交于不同的两点,M N. (1)求椭圆C的方程 (2)当AMN的面积为103时,求k的值. 【解析】(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为. (2)由,得. 设点,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立. 由根与系数的关系得:,. 所以 ,又因为点到直线的距离, 所以的面积为,即, xyOP解得. 224xy+=的切线与轴正半轴,轴正半轴围成【例 5】.圆一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为(如图). (1)求点的坐标; (2)焦点在轴上的椭圆过点,且与直线:+ 3l yx=交于,两点,若PAB的面积为2,求的标准方程. 【 解 析 】 (1) 设 切 点 坐 标 为00(x ,y )00(x0,y0). 则 切 线 斜 率 为00 xy. 切 线 方 程 为0000y(x x )xyy= .即004x xy y+=.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482Sxyx y=.由22000042xyx y+=知当且仅当002xy=时,00 x y有最大值.即S有最小值.因此点P的坐标为( 2, 2). (2)设C的标准方程为22221(0)xyabab+=.点1122A(x ,y ),B(x ,y ).由点P在C上知22221ab+=.并由22221,3,xyabyx+=+得2224 3620b xxb+=.又12,x x是方程的根,因此12221224 362xxbbx xb+= =,由113yx=+,223yx=+,得241224824822bbABxxb+=.由点P到直线l的距离为32及13222PABSAB=得429180bb+=.解得26b =或3.因此26b =,23a =(舍)或23b =,26a =.从而所求C的方程为22163xy+=. 【中档】【中档】 【例 1】.已知双曲线:2222= 1( 0, 0)的两个焦点为:(2,0),:(2,0),点(3,7)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)记O为坐标原点,过点0 2Q （ ， ）的直线l与双曲线C相交于不同的两点EF、,若OEF的面积为22,求直线l的方程. 【解答】解:(1):依题意,由 a2+b2=4,得双曲线方程为22242= 1(0a24), 将点(3,7)代入上式,得92742= 1.解得 a2=18(舍去)或 a2=2, 故所求双曲线方程为2222= 1. (2):依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx+2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1k2)x24kx6=0. 直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F, 1 2 0= (4)2+46(1)2 0 133 k(3,1)(1,3). 设 E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得 x1+x2=412,x1x2=612, 于是,|EF|=(12)2+(12)2=(1+2)(1 2)2 =1+2(1+2)2412=1+22232|12| 而原点 O 到直线 l 的距离 d=21+2, SOEF=12 | =1221+21 + 22232|12|=2232|12|. 若 SOEF=22,即2232|12|= 22 4 2 2 = 0,解得 k=2, 满足.故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y=2+2和 = 2 + 2. 【例 2】.设椭圆22+22= 10ab（ ）的左焦点为F,右顶点为A,离心率为12.已知A是抛物线220ypx p=（ ） 的焦点,F到抛物线的准线l的距离为12. (I)求椭圆的方程和抛物线的方程; (II)设l上两点PQ，关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为62,求直线AP的方程. 【解答】(1)解:设 F 的坐标为(c,0). 依题意可得=12 =2 =12解得 a=1,c=12,p=2,于是 b2=a2c2=34. 所以,椭圆的方程为 x2+423=1,抛物线的方程为 y2=4x. (2)解:直线 l 的方程为 x=1,设直线 AP 的方程为 x=my+1(m0), 联立方程组 = 1 = +1,解得点 P(1,2),故 Q(1,2). 联立方程组 = +12+423= 1,消去 x,整理得(3m2+4)y2+6my=0, 解得 y=0,或 y=632+4B(32+432+4,632+4). 直线 BQ 的方程为(632+42)(x+1)(32+432+4+ 1)(y2)=0, 令 y=0,解得 x=23232+2,故 D(23232+2,0).|AD|=123232+2=6232+2. 又APD 的面积为62,126232+22|=62, 整理得 3m226|m|+2=0,解得|m|=63,m=63. 直线 AP 的方程为 3x+6y3=0,或 3x6y3=0. 【例 3】已知椭圆C:22221xyab+=(0ab)的左焦点为( 2,0)F ,离心率为63. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设O为坐标原点,T为直线3x = 上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积. 【解答】(1)由已知得:63ca=,所以6a = 又由222abc=+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设 T 点的坐标为( 3,)m,则直线 TF 的斜率03( 2)TFmkm= . 当0m 时,直线 PQ 的斜率1PQkm=,直线 PQ 的方程是 当0m =时,直线 PQ 的方程是2x = ,也符合的形式. 将代入椭圆方程得:. 2c =22162xy+=2xmy=2xmy=2xmy=22(3)420mymy+=其判别式22168(3)0mm =+.设1122( ,),(,)P x yQ xy, 则121212122224212,()4333myyy yxxm yymmm+=+=+=+. 因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以OPQT= ,即1122( ,)( 3,)x yx my= . 所以122122123343xxmmyymm+= +=+解得1m = .此时四边形 OPTQ 的面积 2122214222| | 2 ()42 3233OPTQOPQmSSOFyymm=+. 【例 4】.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(3,12)焦点12(30),( 30)FF-，,圆O的直径为12FF . (1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于AB，两点.若OAB的面积为267,求直线l的方程. 【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为22+22= 1, ( 0), 焦点 F1(3,0),F2(3,0), = 3. 32+142= 1,又 a2b2=c2=3, 解得 a=2,b=1. 椭圆 C 的方程为:24+ 2= 1,圆 O 的方程为:x2+y2=3. (2)可知直线 l 与圆 O 相切,也与椭圆 C,且切点在第一象限,因此 k 一定小于 0, 可设直线 l 的方程为 y=kx+m,(k0,m0). 由圆心(0,0)到直线 l 的距离等于圆半径3,可得21+2= 3,即2= 3 + 32. 由 = +2+42= 4,可得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0, =(8km)24(4k2+1)(4m24)=0, 可得 m2=4k2+1,3k2+3=4k2+1,结合 k0,m0,解得 k=2,m=3. 将 k=2,m=3 代入2+2= 3 = +可得222+2 = 0, 解得 x=2,y=1,故点 P 的坐标为(2,1). 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由0, 02= 3+32 0k2. 联立直线与椭圆方程得(4k2+1)x2+8kmx+4m24=0, |x2x1|=(1+2)2412=442+1242+1, O 到直线 l 的距离 d=|1+2, |AB|=1+2|x2x1|=442+1242+11 + 2, OAB 的面积为 S=12442+1242+11 + 2|1+2=