数学试题 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 2021 届高三第届高三第三三次调研考试次调研考试 数学试题数学试题 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上 2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，作图题可先用铅笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分 1设集合=1,0,1,2A，集合 128xBx=，则AB =（ ） A1,1 B0,1,2 C1,2,3 D1,2 2已知复数133izi+=+（其中i为虚数单位） ，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知正方形ABCD的边长为 2，E 为 BC 的中点，则AE BD（ ） A2 B0 C12 D2 42020年 4 月 30日，我国的 5G信号首次覆盖了海拔超过 8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线。为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这 4名技术人员中随机安排 3 人分别去往北坡登山路线中标记为、的 3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为的崎岖路段，则不同的安排方法共有（ ） A12 种 B18 种 C24 种 D6 种 数学试题 第 2 页，共 6 页 5若双曲线2222:1(0,0)xyEabab=的一条渐近线被圆22(2)4xy+=所截得的弦长为2 3，则双曲线E的离心率是（ ） A2或2 33 B3 C63 D2 33 6我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”右图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为 “赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”现从该“数学风车”的 8 个顶点中任取 2 个顶点，则 2 个顶点取自同一片“风叶”的概率为（ ） A37 B47 C314 D1114 7若函数( )sin(2)f xAx=+(0A，02)的部分图象如下图所示，则下列叙述正确的是（ ） A函数( )f x的图象可由sin2yAx=的图象向左平移6个单位得到 B函数( )f x的图象关于直线3x=对称 C,012是函数( )f x图象的一个对称中心 D函数( )f x在区间,3 3 上单调递增 8已知2.12a =，22.1b =，4ln2.1c =，则, ,a b c的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba x y O 2 数学试题 第 3 页，共 6 页 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9无穷等差数列 na的前 n项和为Sn，若a10，d0，则下列结论正确的有（ ） A数列 na单调递减 B数列 na有最大值 C数列 nS单调递减 D数列 nS有最大值 10已知抛物线2:2(0)C ypx p=的焦点F到准线的距离为 2，过点F的直线与抛物线交于,P Q两点，O为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ） A抛物线C的准线方程为1y = B线段PQ长度的最小值为 4 C2OPQS D3OP OQ= 11如图所示，在长方体1111ABCDABC D，若ABBC=，E、F分别是1AB、1BC的中点，则下列结论中成立的有（ ） AEF 1BB BEF 平面11BDDB CEF与1C D所成的角为45 D/EF平面1111DCBA 12函数( )f x为定义在 R上的奇函数，当0 x 时，( )()1xf xex=，下列结论正确的有（ ） A当0 x 时，( )()1xf xex=+ B函数( )f x有且仅有 3 个零点 C若2me，则方程( )f xm=在0 x 上有解 D12,x xR，()()212f xf x恒成立 数学试题 第 4 页，共 6 页 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中分，其中16题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分。分。 13已知3cos()63+=，则5cos()6=_ 14设随机变量服从正态分布2(1,)N，若(2)0.8P=，则(02)P=_ 15写出一个包含有xe的偶函数( )f x = 16在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最小值现有边长为2的正方形ABCD，则到定点A距离为1的点围成的几何体的体积为_；该正方形ABCD区域（包括边界以及内部的点）记为，则到距离等于1的点所围成的几何体的体积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 na的前n项和为nS，满足22nnSa= （1）求数列 na的通项公式； （2）设nnbn a=，求数列 nb的前n项和nT 18 （本小题满分 12 分） 在ABC中，内角ABC、 、的对边分别为abc、 、，已知7=2c，ABC的面积为3 32，且()tantan= 3 tantan1ABAB+ （1）求角C的大小； （2）求ab+的值 数学试题 第 5 页，共 6 页 19 （本小题满分 12 分） 华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查 100 个2020年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表定义用户年龄 30 岁以下为“年轻用户” ，30岁以上为“非年轻用户” 购买华为 购买其他品牌 总计 年轻用户 28 非年轻用户 24 60 总计 100 （1）请将列联表填充完整，并判断是否至少有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？ （2）若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出 9 人，再从中随机抽取 3人，其中年轻用户的人数记为X，求X的分布列和数学期望 附：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+. ()20P Kk 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 数学试题 第 6 页，共 6 页 20 （本小题满分 12 分） 已知边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1（如图） ，现用一个平面截该正方体，平面与棱AA1、AB、BC分别交于点E、F、G若A1E=2EA，AF=2FB，CG=2GB （1）求面与面ABCD所成锐二面角的余弦值； （2）请在答题卷的第 2 个图中作出截面与 正方体各面的交线，用字母标识出交线 与棱的交点 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆C：()222210 xyabab+=的离心率为32，左右顶点分别为A、B，右焦点为2F，P为椭圆上异于A、B的动点，且2APF面积的最大值为312+ （1）求椭圆C的方程； （2）设直线AP与y轴交于M点，过点A作BP的 平行线交y轴与点N，试探究是否存在定点Q， 使得以MN为直径的圆恒过定点Q 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )lnsinf xxxxa= + （1）求( )f x的导函数( )fx在()0,上的零点个数； （2）求证：当1,3a时，( )f x有且仅有 2 个不同的零点 A B y M N P F2 O x AB1A1BC1CD1DEF G