第 1 页 共 4 页xOyxOyxOyxOy20202021 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)数 学 数 学 注意事项注意事项:1答卷前,考生要务必填涂答题卷上的有关项目2选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效4请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题一、选择题:本题共8小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知全集U为实数集, 230Ax xx = , 1Bx x = ,则 ( )UAB = ? ( )A 01xx B 01xx C 13xx ”是“2abc + ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4. 平行四边形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点(靠近B),则EF? ? ( )A.1123ABAD ? ?B.1142ABAD + ? ?C.1132ABAD + ? ?D.1223ABAD ? ? 5. 随着新一轮科技革命和产业变革持续推进,以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一,截至2020年底,我国已累计开通5G基站超70万个,未来将进一步完善基础网络体系,稳步推进5G网络建设,实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站,以后每个月比上一个月多建设1万个,预计我国累计开通500万个5G基站时要到( )A.2022年12月B.2023年2月C.2023年4月D.2023年6月6. 设sin2a = ,则( )A.2122logaaa B.212log2aaa C.212log2aaa D.212log2aaa ,则下列结论中正确的有( )A. 当1m = 时,曲线C是一个圆B. 当2m = 时,曲线C的离心率为22C. 当2m = 时,曲线C的渐近线方程为22yx = D. 当1m 且0m 时,曲线C的焦点坐标分别为 ( )1,0am + 和 ( )1,0am + 11.已知曲线sin4yx =+ (0 )在区间( )0,1上恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论中正确的是( )A. 存在 ,使2sin42 + B. 存在 ,使22sin42 + = C. 有且仅有一个 ( )00,1x ,使04sin45x += D. 存在 ( )00,1x ,使0sin04x + )的焦点为F,准线l交x轴于点K,过F作倾斜角为 的直线与C交于,A B两点,若60AKB =,则sin =_.16.已知四棱锥PABCD 的顶点都在球O上,3AB = ,4BC = ,1CD = ,2 6AD = ,5AC = ,平面PAD 平面ABCD,且PAPD ,则球O的体积为_.四、解答题:四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.( (10 分)分)在212loglog1nnaa + =+ ,12nnnaa + =+ ,22112nnnnaaaa + = (0na )这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答. 已知 nnba 为等差数列, nb的前n项和为nS,且12a = ,12b = ,314b = ,_,是否存在正整数k,使得2021kS ?若存在,求k的最小值；若不存在,说明理由.注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分. 18.( (12 分)分)如图,在梯形ABCD中,/ /ABCD,2AB = ,5CD = ,23ABC = . (1) 若2 7AC = ,求梯形ABCD的面积；(2) 若ACBD ,求tan ABD .19.( (12 分)分)如图,直三棱柱111ABCABC 中,1122ACBCAA = ,M、N分别为AB、11BC的中点.(1) 求证:/MN平面11ACC A；(2) 若13 2B M = ,求二面角11BAMN 的余弦值.第 4 页 共 4 页 区域IV区域III区域II区域I1801601401201000y(AQI)x(人数)14013010011012070809060504020406080连续60天参加健身运动人数与AQI散点图20.( (12 分)分)为了了解空气质量指数(AQI)与参加户外健身运动的人数之间的关系,某校环保小组在暑假期间(60天)进行了一项统计活动:每天记录到体育公园参加户外健身运动的人数,并与当天 AQI 值(从气象部门获取)构成60组成对数据( ),iix y(1,2,60i = ? ),其中ix为当天参加户外健身运动的人数,iy为当天的AQI 值,并制作了如下散点图:(1) 环保小组准备做y与x的线性回归分析,算得y与x的相关系数为0.58 ,试分析y与x的线性相关关系？ (2) 环保小组还发现散点有分区聚集的特点,尝试作聚类分析.用直线100 x = 与100y = 将散点图分成、四个区域(如图),统计得到各区域的点数分别为5、10、10、35,并初步认定“参加户外健身运动的人数不少于100与AQI 值不大于100有关联”,试分析该初步认定的犯错率是否小于1%?附: ( ) ( )( )( )( )22n adbcKabcdacbd = + 21.( (12 分)分)已知椭圆C:22221xyab += (0ab )的右焦点为 ( )1,0F,且过点 ( )2,0A .(1) 求C的方程；(2) 点P、Q分别在C和直线4x = 上,/OQAP,M为AP的中点,求证:直线OM与直线QF的交点在某定曲线上. 22.( (12 分)分)设0a 且1a ,函数 ( )sinsinfxaxax = .(1) 若 ( )fx在区间( )0,2 有唯一极值点0 x,证明: ( ) ( ) 0min 2, 1fxaa 得10n ,即存在正整数k,使得2021kS ,且k的最小值为10.10 分选: 由12nnnaa + =+ 得1212aa = ,2322aa = ,3432aa = ,112nnnaa = (2n ), 1 分相加得 ( )1123112 1222222212nnnnaa =+= ? ,又12a = ,所以2nna = (2n ),显然12a = 也满足2nna = (2n ),故2nna = . 3 分下同选. 选: 由22112nnnnaaaa + = 整理得( )( )1120nnnnaaaa + += , 1 分又0na ,所以12nnaa + = ,即12nnaa + = ,第 2 页 共 5 页zyxOMC1B1A1CBAN所以 na是首项为2,公比为2的等比数列,所以2nna = . 3分下同选. 18. 【解析解析】 (1)设BCx = ,在ABC 中,由余弦定理得2128422 ()2xx =+ ,即22240 xx += ,解得4x = 或6x = (舍),所以4BC = 2 分则132 42 322ABCS = = 3 分 因为52ABCD = ,所以55 32ABCADCSS = 4 分 则梯形ABCD的面积+7 3ABCADCSSS = 5 分 (2)设ABD = ,则BDC = ,2BAC = ,23DBC = ,6BCA = 6 分在ABC 中,由正弦定理得2sinsin62BC = 7 分 在BDC 中,由正弦定理得52sinsin3BC = 8 分 两式相除得22sinsin35sinsin62 = ,展开得312 (cossin)sin22cos315 (sincos)22 + = 9 分 所以225 3sin7sincos2 3cos0 = ,即25 3tan7tan2 30 = 10 分解得2 3tan3 = 或35 ,因为(,)6 2 ,则2 3tan3 = ,即2 3tan3ABD = .12 分 19.【解析解析】(1)取AC中点O,连结OM,1OC,在ABC 中,因为M为AB中点,O为AC中点,所以/OMBC,且12OMBC = ,1 分又N为11BC中点,11/BCBC且11BCBC = ,所以1/C NBC,且112C NBC = , 2 分所以1/OMC N且1/OMC N,从而四边形1OMNC为平行四边形.3 分所以1/MNOC, 4 分又MN 平面11ACC A,1OC 平面11ACC A,所以/MN平面11ACC A. 5 分(2)在直三棱柱111ABCABC 中,1BBAB ,13 2B M = ,14BB = ,所以22112BMB MBB = ,故2 2AB = ,222ACBCAB += ,从而ACBC . 6 分以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz 如图所示,则 ( )1,1,0M, ( )12,0,4A, ( )10,2,4B, ( )0,1,4N, ( )11,1,4MB = ? ?, ( )11, 1,4MA = ? ?, ( )1,0,4MN = ? ?,7 分第 3 页 共 5 页QPFMAyxO设平面11MAB的法向量为 ( )1, ,x y z =n,则111100MAMB = = ? ? ? ?nn,即4040 xyzxyz += += ,解得0yxz = = , 令1x = ,得 ( )11,1,0 =n,8 分设平面1MA N的法向量为 ( )2, ,x y z =n,则21200MAMN = = ? ? ? ?nn,即4040 xyzxz += += ,解得48xzyz = = , 令1z = ,得 ( )24,8,1 =n,9 分所以121212122 2cos,329 = n nn nn n, 11 分 所以二面角11BAMN 的余弦值为2 23.12 分 20.【解析解析】(1)0.58 ,y与x的相关关系为负相关, 2 分且0.75 ,故线性相关性不强,所以不建议继续做线性回归分析,得到回归方程,拟合效果也会不理想.(相关指数20.3364R )4 分(2)建立22 列联表如下人数100 10515AQI100 103545合计2040608 分 代入公式计算得2260 (35050)1015 45 2040K = 10 分 查表知6.6351010.828 ,则 ( )fx 在区间( )0,2 至少有1224,11xxaa = + 两个变号零点,故01a ,2 分令 ( )0fx = ,得21mmxa = + ,21nnxa = ,其中,m nZ,仅当1m = 时, ( )120,21xa = + , 且在1x的左右两侧,导函数的值由正变负,故01a 时, ( )fx在区间( )0,2 有唯一极值点021xa = + ,此时 ( )000sinsinfxaxax = 3 分方法方法1将021xa = + 代入得 ( )022sinsin11afxaaa = +22sinsin 211aaaa =+ + ( )21sin1aaa =+ + 4 分 当2112aa + ,即103a 时,sinxx (*)知:( ) ( )221sin1211aaaaaaa + + ,即当113a 时,( )12aa ,( ) ( ) ( ) ( )1221sin1sin1sin111aaaaaaaaa +=+=+ + 由不等式(*)知:( ) ( ) ( ) ( ) ( )111sin1111aaaaaaa += + , 由知 ( ) ( ) 0min 2, 1fxaa .6 分方法方法2由000221xaxxa = + ,021ax = ,代入得 ( ) ( )0000002sinsinsin 21 sinfxaxaxxxx = ,即 ( )0002sinfxxx = 以下用分析法可证: ( ) ( ) 0min 2,