微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 圆锥曲线二级结论深度易记讲义 第 6 篇 阿基米德三角形与焦点三角形 总编：山东济南徐伟 微信：luoji-math 一、抛物线与阿基米德三角形 1.定义：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 2.主要性质： 性质 1 ：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴. 证明： 微信公众号：逻辑数学精品课 设1122( ,), (,)A x yB xy，N为弦AB中点，则过A的切线方程为11()y yp xx=+，过B的切线方程为：22()y yp xx=+，联立方程组得： 1122211222()()22y yp xxy yp xxypxypx=+=+= 解得两切线交点1212,22y yyyMp+，进而可知NMx轴. 性质 2：底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为38ap xyNMBFODA微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 证明：微信公众号：逻辑数学精品课 ABa=，设M到AB的距离为d，由性质 1 知 22212121212122()22444xxy yyyy yyydMNpppp+= 设直线AB的方程为 xmyn=+，则2221(1)()amyy=+， 所以2322121()428aayyadsadpp=. 特别地：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点M的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p. 性质 3：在阿基米德三角形中，MFAMFB= . 微信公众号：逻辑数学精品课 证明： 过点，AB分别作抛物线准线的垂线，AABB,垂足为，AB, 连结,，A MB M MF AF BF,则1=-FAykp又1y=MApk，1FAMAkk= ，FAMA 由抛物线定义,得| =AAFA，由此可知MA是线段FA的中垂线,得到| | =MAMF,= MA AMFA,同理可证| | =MBMF,= MB BMFB,所以xyNMBFODA微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. | | |=MAMBMF,即 = MA BMB A，所以009090 = += += MA AMA BMB AMB B 所以= MFAMFB微信公众号：逻辑数学精品课 特别地：若阿基米德三角形的底边过焦点（即点DF、重合），此时= MFAMFB，即MFAB. 性质 4：2AFBFMF=微信公众号：逻辑数学精品课 证明： 2121212()2224ppppAFBFxxx xxx =+=+ 22221212244y yyypp+=+ 由性质 1 得： 222222212121212222244y yyyy yyyppMFAFBFppp+=+=+= 重点：底边AB过焦点的阿基米德三角形特殊性质： 此处先补充抛物线焦点弦的常用结论： 1.过抛物线22ypx=焦点F的直线l交抛物线于1122( ,), (,)A x yB xy两点，则212y yp= ，2124px x = 证明提示： xyNMBF(D)OA微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 联立2()22pyk xypx=即得. 2.过抛物线22xpy=焦点F的直线l交抛物线于1122( ,), (,)A x yB xy两点，则212x xp= ，2124py y =微信公众号：逻辑数学精品课 证明提示： 联立2()22pxk yxpy=即得. 1、2结合起来记忆，通过证明提示，不难发现二者联系. 重点：底边AB过焦点的阿基米德三角形特殊性质： 在满足上述一般阿基米德三角形的四大性质的基础上，我们归纳底边AB过焦点的阿基米德三角形特殊性质如下： 微信公众号：逻辑数学精品课 1. 底边上的中线平行于抛物线上的轴.即如上图：MN平行于x轴 2. 阿基米德三角形的面积的最小值为2p. 证明提示：当底边AB垂直于焦点所在轴时，对应的底和高同时达到最小，此时阿基米德三角形面积最小为2p 3.如上图，MFAB 4.如上图，2AFBFMF= 5.顶点M的轨迹为准线 xyNMBF(D)OA微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 6.如上图，MAMB 证明提示：以AB为直径的圆与准线相切MN 准线. 补充性质：（与阿基米德三角形无关） F为抛物线焦点，在抛物线上任意一点()00, yxA的切线与非焦点所在轴的交点为，H则FHAH 微信公众号：逻辑数学精品课 微信公众号：逻辑数学精品课 以图 1 为例证明 对于抛物线22ypx=在点()00, yxA处的切线方程：00()y yp xx=+，令0 x =得000(0,)2pxyHy=，所以H是AB中点；令0y =得0(,0)Bx，所以02pAFxBF=+=，于是FHAB. 【典例】 1.（2018 年全国卷理 16）已知点( 1,1)M 和抛物线2:4=C yx，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于,A B两点若090=AMB，则k= 解析：由性质八知，三角形AMB为阿基米德三角形，又由性质三（特别地）知MFAB,又1,2MFk= 所以12ABMFkk= =. 2.已知点()23A ，在抛物线 C：pxy22=的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线 BF 的斜率为（ ） A21 B32 C43 D34 xyxy图2图1BBHOFHAFOA微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 解析：由性质三知AFFB,因为()23A ，(2,0)F,所以34AFk= ，所以43BFk=,故选D. 3. 过抛物线241xy =准线上任.一点作抛物线的两条切线，若切点分别为M、N，则直线MN过定点（ ）微信公众号：逻辑数学精品课 A()01， B()10， C()01， D()01， 解析：由性质七知MN恒过焦点()01，故选A 4. 已知过抛物线24xy=的焦点F的直线交抛物线于AB、两个不同的点，过AB、分别作抛物线的切线，且二者相交于点C，则ABC的面积的最小值为 微信公众号：逻辑数学精品课 解析：由结论 2 知，过焦点的阿基米德三角形面积的最小值为24p =，故填4 5. 已知抛物线()220ypx p=的焦点为F，F关于原点的对称点为P过F作x轴的垂线交抛物线于MN、两点有下列四个命题：PMN必为直角三角形； PMN不一定为直角三角形；直线PM必与抛物线相切；直线PM不一定与抛物线相切其中正确的命题是 解析：由本系列第 5 篇 6 大相切模型知，PMPN，所以PMN必为直角三角形，所以对错，又由本篇性质 8 知，PMN为阿基米德三角形，所以对 4错. 二、椭圆与焦点三角形 如图P是椭圆上异于长轴端点的一点，已知12FPF=,1221,PFFPF F=,r为12PFF的内切圆半径，则: 微信公众号：逻辑数学精品课 xyQIB2B1OF1F2P微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 1.面积：1 22tan( )()2PF FpSbc yac r= =+ 证明提示：对于1 22tan( )2PF FSb=，在12PFF中，借助余弦定理可得2122| |cos1bPFPF=+，代入面积公式1 2121| | sin2PF FSPFPF=即可得出结论. 2.离心率：sinsinsinQIePI=+ 证明提示： 对于sinsinsine=+，在12PFF中利用结合椭圆定义，再利用正弦定理即可得结论. 对于QIePI= 由于I是12PFF内切圆圆心，所以1FI平分角12PFF，所以11FPQIPIFQ=,同理22F PQIPIF Q=微信公众号：逻辑数学精品课 所以121222FPF PQIaePIFQF Qc+=+ 3.顶角：当点P与短轴端点重合时，12FPF=取得最大值.且2cos12e . 证明提示： 2222222121212121212121212()2442cos222FPF PFFFPF PFP F PFFacFP F PFP F PFP F PFP F P+= 22222212124421111 212()2bbbeFP F PaFPF P= = = +（当12FPF P=时等式成立） 因为(0,180 )，所以当cos取最小值时，取最大值，此时12FPF P=. 三、双曲线与焦点三角形微信公众号：逻辑数学精品课 微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 如图P是双曲线上异于长轴端点的一点，已知12FPF=,1221,PFFPF F=,r为12PFF的内切圆半径，则: 1.面积：1 22tan( )2PF FpbSc y= 微信公众号：逻辑数学精品课 证明提示：对于1 22tan( )2PF FpbSc y= ，在12PFF中，由余弦定理可以得出2122| |cos1bPFPF=，代入面积公式1 2121| | sin2PF FSPFPF=即可得出结论. 2.离心率：sinsinsine= 证明提示： 对于sinsinsine=+，在12PFF中利用结合椭圆定义，再利用正弦定理即可得结论. 3.内切圆圆心：Ixa= 证明提示： 连接圆心I与三边切点微信公众号：逻辑数学精品课 【典例】 xyQIOF1F2P微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 6.设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A B C D3 解析:选 B.由有,则,故选 B. 7.已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为 9，则=_. 解析:依题意，有，可得 4c2364a2，即 a2c29，故有 b3。微信公众号：逻辑数学精品课 8.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 解析:方法 1，因为在中，由正弦定理得 则由已知，得21acPFPF=，即 设点由焦点半径公式，得则记得0()(1)()(1)a caa exe cae e=+由椭圆的几何性质知，整理得 1F2F22221xyab=0,0ab12FF，(0,2 )Pb322523tan623cb=2222344()cbca=2cea=1F2F1:2222=+byaxCabPC21PFPF 21FPFb=+=+2222121214|18|2|cPFPFPFPFaPFPF22221(0)xyabab+=12(,0),( ,0)FcF cP1221sinsinacPFFPF F=12PFF211221sinsinPFPFPFFPF F=12aPFcPF=00(,)xy1020,PFaex PFaex=+=00()()a aexc aex+=0(1)(1)a exaae e +则微信公众号：逻辑数学精品课 逻辑出品，必属精品 关注微信公众号：逻辑数学精品课，品深度数学. 解得，故椭圆的离心率微信公众号：逻辑数学精品课 方法 2 由解析 1 知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知2ac-a20,所以以下同解析 1. 9.椭圆的焦点为，点 P 在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 微信公众号：逻辑数学精品课 解析:2，又， 又由余弦定理，得， 故应填. 10.设ABC是等腰三角形，120ABC=，则以AB，为焦点且过点C的双曲线的离心率为（ ）微信公众号：逻辑数学精品课 A122+ B 132+ C 12+ D13+ 解析:选 B.由题意2AB BCc =,所以0| 22sin602 3ACcc=，由双曲线的定义，有22 32( 31)aACBCccac=，131231cea+=. 11.设 F1，F2分别是双曲线22221xyab=的左、右焦点。若双曲线上存在点 A，使