1 / 3 动静结合定轨迹，妙用斜率关系求已知椭圆与抛物线有公共的焦点，且抛物线的准线被椭圆截得2222:1(0)xyCabab2:4Myx的弦长为 3（1）求椭圆的方程；C（2）过椭圆的右焦点作一条斜率为的直线，交椭圆于两点，交轴于点，记弦C(0)k k C,A ByE的中点为，过点作直线的垂线交于点是否存在定点，使得线段的长度为ABPEOPOPQHQH定值？若存在，则求出点；若不存在，请说明理由H答案：（1）；（2）存在22143xy3( ,0)8H解：（1）由椭圆与抛物线有公共的焦点，所2222:1(0)xyCabab2:4Myx以，221ab又抛物线的准线被椭圆截得的弦长为 ，所以，3223ba联立，解得，所以椭圆的方程为24a 23b C22143xy解法一：解析法解法一：解析法（2）设，直线，与椭圆方程联立，1122( ,)(,)A x yB xy:(1)AB yk x22143xy得：则，2222(43)84120kxk xk2122843kxxk212241243kx xk所以，即21224243xxkk121223(1)2243yyxxkkk22243(,)43 43kkPkk所以直线又点是直线与轴的交点，故3:4OP yxk EABy(0,)Ek因为，所以直线EQOP4:3kEQ yxk将直线与直线联立相乘，得，4:3kEQ yxk3:4OP yxk 2234yxx 整理得：所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆2239()864xyQ3( ,0)838试题出处：全国新课改省区试题出处：全国新课改省区 2021 届高三第一次届高三第一次 T8 联考联考编辑：北京解博超 审校：四川德阳杨小京 2 / 3所以存在定点，使得线段的长为定值3( ,0)8HQH38解题教师：河南三门峡赵亚伟 福建福州兰骁毅解法二：圆锥曲线第三定义解法二：圆锥曲线第三定义（2）设直线，又点是直线与轴的交点，故:(1)AB yk xEABy(0,)Ek由，得，直线34OPABkk 34OPkk 3:4OP yxk 因为，所以直线EQOP4:3kEQ yxk将直线与直线联立相乘，得，4:3kEQ yxk3:4OP yxk 2234yxx 整理得：所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆2239()864xyQ3( ,0)838所以存在定点，使得线段的长为定值3( ,0)8HQH38解题教师：山西晋城赵子君 山东青岛仇鹏程解法三：巧用斜率关系解法三：巧用斜率关系（2）设直线，由点是直线与轴的交点，故:(1)AB yk xEABy(0,)Ek所以，又，故34OPABkk EQOP1OPEQkk 43EQABkk设直线与轴的交点为，则，整理得，即EQx(,0)MM x0400301Mkkx 34Mx3( ,0)4M将直线与直线联立相乘，得，4:3kEQ yxk3:4OP yxk 2234yxx 又，故点在以为直径的圆上EQOPQ3(0,0),( ,0)4所以存在定点，使得线段的长为定值3( ,0)8HQH38解题教师：湖北天门代成红解法四：使用式子结构解法四：使用式子结构（2）设直线，其中又点是直线与轴的交点，故1xmy1mkEABy1(0,)Em由，得，直线34OPABkk 34OPkm 3:4OP ymx 因为，所以直线EQOP41:3EQ ymxm 3 / 3将直线与直线联立，得41:3EQ ymxm3:4OP ymx 22129(,)916 916mQmm假设存在点，使得线段的长为定值，则00(,)H xyQH222222200002222(916)12(916)9 129|()()916916(916)xmymmmQHxymmm (*)2222000022(91612)(9916)(916)x mxy mmym若使(*)式为定值，将分子看成一个关于的方程，2m则必须满足且，解得，即00y 2020(9)81(1612)256xx038x 3( ,0)8H代入(*)式，得，即线段的长为29|64QHQH38解题教师：安徽合肥夏志强评论与赏析：评论与赏析：本题属于圆锥曲线综合问题中的定点定值问题，考察了数学运算、逻辑推理等核心素养对于此类问题，常见的解题路径有两条：一是从特殊人手，求出定点（定值） ，再证明这个点（值）与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点（定值） 本题给出四种解法：解法一是通法通解，最终通过动点轨迹为圆来确定定点及定值；解法二利用了圆锥曲线中常用的二级结论，有效简化了运算；解法三抓住了本题的特点，更进一步，巧用多条直线斜率的关系，迅速得到动点轨迹方程，从而确定定点和定值；解法四依据式子结构，步步为营，通过系数比例关系的确定得到答案，但运算量较大