关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 公众号 逻辑数学精品课 解析几何专题 2020/07/13 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 目录 总述 . 3 第 1 篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦 . 4 第 2 篇：圆锥曲线第三定义与斜率乘积为定值模型 . 16 第 3 篇：圆锥曲线第三定义与向量三大模型 . 25 第 4 篇 极点、极线与圆锥曲线 . 32 第 5 篇 六大相切模型 . 42 第 6 篇 阿基米德三角形与焦点三角形 . 52 第 7 篇 仿射变换椭圆化圆 . 67 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 圆锥曲线二级结论深度易记讲义 总述总述 主编：徐伟 编委：李问 阮老师 数学教研数学教研 Q QQ Q 群：群：4 43988356039883560 一直以来，提起圆锥曲线二级结论，总让人感觉很鸡肋；一者，考试时这些结论确实好用，二者呢这些结论也实在不好记忆尤其是各大 QQ 群内动辄几百条的二级结论更是让人望而却步，基于此种情况，“逻辑小组”决定出一份全新的系统的便于记忆的圆锥曲线二级结论讲义，供老师上课使用，供学生复习使用，共计 8 篇， 8 篇涵盖最全高中圆锥曲线专题应试必备结论技巧。先共性后特性，追根溯源，从通性的角度结合圆锥曲线的第二、第三定义、极点极线等，系统讲授圆锥曲线相关结论； 前 7 篇已在公众号“逻辑数学精品课”更新， PDF 电子版均已经发送至QQQQ群：群：4 43988356039883560，在群内可自行下载，群内优质数学资料持续更新中. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 圆锥曲线二级结论深度易记讲义 第第 1 1 篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦篇：圆锥曲线第二定义与焦点弦 作者：山东济南徐伟 微信：18663795717 一、焦半径倾斜角式 设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F, 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2 1.在椭圆和双曲线中在椭圆和双曲线中 2cosbAFac=（弦的长短决定加减） 2.2.在抛物线中在抛物线中 1cospAF=（弦的长短决定加减） 证明这两组结论，需要用到圆锥曲线第二定义： 圆锥曲线第二定义： 平面内的动点( , )P x y到一个定点F的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数(0),e e 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当01e时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e 时，轨迹为双曲线。 在标准方程下第二定义中的各要素对应表 注：1.和坐标轴平行的虚直线为准线;2.教材中抛物线的准线与焦点就对应第二定义中的准线与焦点. 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 标准方程 图像 焦点坐标 准线方程 22221(0)xyabab+= (,0)c 2axc= 22221(0)yxabab+= (0,)c 2ayc= 22221(0,0)xyabab= (,0)c 2axc= 22221(0,0)yxabab= (0,)c 2ayc= 结论证明： 如图以椭圆22221(0)xyabab+=为例，对结论2cosbAFac=（弦的长短决定加减）进行证明： xyOF1F2xyOF1F2xyOF1F2xyF1F2关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 如图，过椭圆上任意一点A作准线2axc= 的垂线，设垂足为M,连接AF并延长交椭圆于另一点B,设AFx=，过F作AM的垂线，垂足设为N 设AF=,则222cos ,()FaabANMNxcccc= = += 因此2cosbAMANNMc=+=+ 由第二定义知：2cosceebAMac=+ 化简得：22cos1cosbbaAFcaca=,证毕. 到这里很多读者朋友会问：2cosbac+这个结论对应哪个焦半径？ 答案是:2cosbBFac=+ 如何记忆？ 为焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向的夹角，(0,)2 一个对应两个焦半径AFBF、 怎么区分？ 弦的长短决定加减 xy准线：x=a2c准线：x=-a2cNMBOFA关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 怎么证明2cosbBFac=+？ 仿照证明2cosbAFac=自行证明. 二、推论 1.弦长公式 在椭圆和双曲线中：22222cosabABac= 在抛物线中：在抛物线中：22sinpAB= 记忆提示：这两个公式无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式相加即可，分母平方差公式，口算得结论，因为一段焦点弦是由两段焦半径组成. 2 2. .焦半径混合运算焦半径混合运算 在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中：2112aAFBFb+= 在抛物线中：在抛物线中：22112,sinpAF BFAFBFp+= 记忆提示：这两组公式也无须背诵，将上文倾斜角式中的一加一减两个公式取倒数，同分母相加即可，总之以上推论花里胡哨，都不要背诵，大家只需记住： 1.在椭圆和双曲线中在椭圆和双曲线中 2cosbAFac=（弦的长短决定加减） 2.在抛物线中在抛物线中 1cospAF=（弦的长短决定加减） 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 这两个核心公式即可，是不是大大降低了记忆难度，反观市面上的参考资料都是直接让我们背推论，殊不知，没有这两组核心公式的铺垫，各个推论是孤立存在的，而且不易推导，记忆起来当然难度很大. 三、焦半径超级结论 如果大家赶紧上面倾斜角式两个公式还是过于繁琐，非得想要用一个公式，表示所有圆锥曲线的焦半径，那么下面这个公式将会很适合你. 1.焦半径公式：1cosepe=（弦的长短决定加减） 2.焦点弦长公式：2221cosepABe=（弦的长短决定加减） 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =，所以22sinpAB= p焦准距（焦点到准线的距离），椭圆与双曲线的准线方程为2ac，所以22|,abpccc=抛物线中p即为公式中的p 焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2 特别说明：倾斜角相关所有公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB时22222cosabABca=或222cos1epABe= 关于四这部分也不建议大家记忆，花里胡哨的 四、一个重要推论（考点） 由本文三、四可知，圆锥曲线焦点弦长公式与离心率有关，下面探究离心率、倾斜角及点分线段的比例关系： 1cos1e=+ 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 注：e曲线的离心率，特别地，抛物线离心率1e =， 焦点弦所在直线与焦点所在轴正方向夹角，(0,)2 焦点把弦分成两部分，1=长短 特别说明：此公式适用于椭圆、双曲线内分弦、抛物线，在双曲线中，如果焦点F外分弦AB时1cos1e+= 由此结论，我们可以知道，对于离心率e、倾斜角、焦半径比，知道其中任意两个量，都可以求其他一个量，出题人也常以此原理出题. 证明： 以椭圆和双曲线为例，如图，由三知： 2211,coscosbbAFBFacac=+, 则11cos1coscos1cosAFaceBFace+= 化简得：1cos1e=+ 五、焦半径坐标式 设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F 1 1. .在椭圆和双曲线中：在椭圆和双曲线中： xyBOF1F2A关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 0|AFaex=（焦点在x轴上） 0|AFaey=（焦点在y轴上） 注：绝对值内具体是加还是减，要结合焦半径的长短及坐标正负来判断 结论证明: 如图以椭圆22221(0)xyabab+=为例，对结论0|AFaex=（焦点在x轴上）进行证明： 设曲线上点A坐标为00(,)A xy，曲线焦点为F 则由第二定义得2100|aAFe xaexc=+=+，2200|aAFexaexc= 2 2. .在抛物线中在抛物线中 0|2pAFx=+（焦点在x轴上） 0|2pAFy=+（焦点在y轴上） 证明提示：定义 配套练习 xy准线：x=a2c准线：x=-a2cMOF1F2A关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 例 1.(2019 年全国 I 卷理 10/全国 I 卷文 12) 已知椭圆C的左右焦点为1( 1,0)F ，2(1,0)F，过点2F的直线与C交于,A B两点，若222AFF B=，1ABFB=，则C的方程为（ ） 22.12xAy+= 22.132xyB+= 22.143xyC+= 22.154xyD+= 解析： 如图，设2222AFF Bx=，则13ABFBx=，由定义知：12124BFBFAFAFx+=+= 解得12AFx=，所以122AFAFx=,点A与短轴端点重合，于是21coscAF Fea= 由五结论知：211cos13ee=+ 所以222221,3,2cabac= 所以选B 例 2.(2017 全国卷) 已知F为抛物线2:4C yx=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12, ,l l直线1l与C交于AB、两点，直线2l与C交于DE、两点，则|ABDE+的最小值为（ ） .16A .14B .12C .10D 解法一：常规解法 xy2xx2x3xBAOF1F2关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他原创优质讲义！ 逻辑出品，必属精品 教研 QQ 群：439883560，内有优质备课资料，云集众多解题大神；更多资料关注公众号：逻辑数学精品课 设AB倾斜角为作1AK垂直准线，2AK垂直x轴， 易知11cos22+= =AFGFAKAKAFPPGPP（几何关系）（抛物线特性），cosAFPAF+=， 同理1cosPAF=，1cosPBF=+，22221cossinPPAB=， 又DE与AB垂直，即DE的倾斜角为2+， 2222cossin2PPDE=+，而24yx=，即2P = 22112sincosABDEP+=+2222sincos4sincos+=224sincos=241sin 24= 21616sin 2=，当且仅当4=取等号，即ABDE+最小值为16，故选A； 解法二：结论解法 依题意知：22sinPAB=，2222cossin2PPDE=+， 由柯西不等式知： 222