关注微信公众号：加油高三 专题八立体几何 第二十四讲空间向量与立体几何 答案部分 2019 年1.解析：（1）连结B1C，ME 因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=12B1C 又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D 由题设知A1B1=PDC，可得B1C=PA1D，故ME=PND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MNED 又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE （2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，DAuuu r的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， NMDCBAD1C1B1A1zyx 则(2,0,0)A，A1(2, , 0 4)， (1, 3,2)M，(1,0,2)N，1 (0,0, 4)AA=uuu r，1 ( 1, 3, 2)AM = uuuu r，1 ( 1,0, 2)AN = uuur，1 ( 1,0, 2)AN = uuur 设 ( , , )x y z=m为平面A1MA的法向量，则1100AMA A=uuuu ruuu rmm， 所以 32040 xyzz +=，可取 ( 3,1,0)=m 关注微信公众号：加油高三 设 ( , , )p q r=n为平面A1MN的法向量，则100MNAN=uuu ruuur，nn 所以3020qpr= =，可取 (2,0, 1)=n 于是 2 315 cos, |525 =m nm nm n， 所以二面角1 AMAN的正弦值为105 2.解析：解析：解析：解析：解析： （ ）因为IPA 平面ABCD，所以 PACD. 又因为 ABCD，所以CD .平面PAD， （ ） 过作的垂线交于点， 因为IIAAD BC MPA 平面ABCD， 所以 ,PAAM PAAD， 如图建立空间直角坐标系 A-xyzA，则（ ，00， ），0B（ ，2-10）， （C220， ， ）， D（ ，020， ）， （P00， ，2），因为为的中点，所以（E PDE01， ，1. ）所以 () 0,1,1AE =uuu r， () 2,2, 2PC =uuu r, ()0,0,2AP =uu u r. 所以 12 22, 33 33 PFPC = uuu ruuu r，2 2 4,3 3 3 AFAPPF =+= uuu ruu u ruuu r 设平面的法向量为AEF () , ,x y z=n，则 00AEAF=uuu vuuu vnn，即0 2240 333yz xyz+= +=. 令则z=1,y=-1,x=-1.于是 () 1, 1,1= n. 又因为平面的法向量为PAD ()1,0,0=p，所以3cos3 = n p np. 因为二面角为锐角，所以其余弦值为F-PAE33 关注微信公众号：加油高三 zyxBGPFEDCMA （）直线在平面内，因为点在上，且IIIAG AEF GPB2,3PGPB= () 2, 1, 2 ,PB = uur 所以 2424, 3333 PGPB = uuu ruur， 42 2, 33 3 AGAPPG =+= uuu ruu u ruuu r. 由（ ）平面的法向量为II知，AEF () 1, 1,1= n， 所以4220333 AG+=uuu r n = - ，所以直线在平面内AG AEF . 3.解析：解析：解析：解析：解析：方法一： （I）连接A1E，因为A1A A=1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC AC=， 所以，A1E平面ABC，则A1EBC. 又因为A1FAB，ABC=90 ，故BCA1F. 所以BC平面A1EF. 因此EFBC. （）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形 由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 关注微信公众号：加油高三 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=23，EG=3. 由于O为A1G的中点，故11522AG EOOG=， 所以 2223cos25 EOOGEGEOG EO OG+ = 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35 方法二： （）连接A1E，因为A1A A=1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC AC=，所以A1E平面 ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz. 不妨设AC=4，则 A1（0，0，23），B（3，1，0），1 ( 3,3,2 3)B，3 3 (,2 3)22F，C(0，2，0). 因此，3 3 (,2 3)22 EF =， (3,1,0)BC = 由 0EF BC=得 EFBC （）设直线EF与平面A1BC所成角为， 由（）可得 (3,1,0)BC = ，1 (0,2, 2 3)AC =， 设平面A1BC的法向量为 ( , , )x y z=n， 关注微信公众号：加油高三 由100BCAC=nn，得3030 xyyz +=， 取 (1, 3,1)=n，故4 sincos,5EFEFEF = =nnn. 因此直线EF与平面 A1BC 所成角的余弦值为35. 4.证明证明证明证明证明： （1）因为 D，E 分别为BC，AC 的中点， 所以 EDAB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1， 所以 A1B1ED. 又因为ED平面 DEC1，A1B1平面DEC1， 所以 A1B1平面DEC1. （2）因为 AB BC=，E为AC 的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC. 又因为BE平面 ABC，所以CC1BE. 因为 C1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CCAC= ， 所以 BE平面A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 32. （2019全国理 19）图1 是由矩形ADEB、 RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE BF=2，FBC=60 ，将其沿AB，BC 折起使得BE与 BF 重合，连结 DG，如图 2. （1）证明：图2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面ABC平面 BCGE； （2）求图 2中的二面角 B-ACG的大小. 关注微信公众号：加油高三 5.解析解析解析解析解析（1）由已知得 ADBE， CGBE，所以 ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面 由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE 又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE （2）作EHBC，垂足为H因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC 由已知，菱形BCGE的边长为2，EBC=60 ，可求得BH=1，EH=3 以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz， 则A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，1，0） 设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则 0,0,CGAC=nn即 30, 20.xzxy+= 所以可取n=（3，6，3） 又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以3 cos, |2 =n mn mn m 因此二面角BCG A的大小为30 关注微信公众号：加油高三 6.解析：（1）由已知得，11 BC 平面11 ABB A， BE 平面11 ABB A， 故11 BC BE 又1 BEEC，所以 BE 平面11 EBC （ ）由（ ）知211 90BEB=由题设知11 RtRtABEAB E，所以 45AEB=， 故 AEAB=，1 2AAAB= 以D为坐标原点，DA的方向为 轴正方向，x|DA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，D-xyz zyx 则C （ ，0 1， 0） ， B （ ，1 1， 0） ，1C（ ，0 1， 2） ， E （ ，1 0， 1） ， (1,0,0)CB=， (1, 1,1)CE =，1 (0,0,2)CC = 设平面的法向量为EBCn=（ ， ，xyx），则 0,0,CBCE=nn即0,0,x xyz= += 所以可取n= (0, 1, 1) . 设平面1ECC的法向量为（m=xyz， ， ），则 10,0,CCCE=mm即 20,0.z xyz= += 所以可取m=1（ ，10， ） 于是1 cos, |2 = n mn mn m 关注微信公众号：加油高三 所以，二面角1 BECC的正弦值为32 7.解析：解析：解析：解析：解析： （ ）因为IPA 平面ABCD，所以 PACD. 又因为 ABCD，所以CD .平面PAD， （ ） 过作的垂线交于点， 因为IIAAD BC MPA 平面ABCD， 所以 ,PAAM PAAD， 如图建立空间直角坐标系 A-xyzA，则（ ，00， ），0B（ ，2-10）， （C220， ， ）， D（ ，020， ）， （P00， ，2），因为为的中点，所以（E PDE01， ，1. ）所以 () 0,1,1AE =uuu r， () 2,2, 2PC =uuu r, ()0,0,2AP =uu u r. 所以 12 22, 33 33 PFPC = uuu ruuu r，2 2 4,3 3 3 AFAPPF =+= uuu ruu u ruuu r 设平面的法向量为AEF () , ,x y z=n，则 00AEAF =uuu vuuu vnn，即0 2240 333yz xyz+= +=. 令则z=1,y=-1,x=-1.于是 () 1, 1,1= n. 又因为平面的法向量为PAD ()1,0,0=p，所以3cos3 = n p np. 因为二面角为锐角，所以其余弦值为F-PAE33 zyxBGPFEDCMA （）直线在平面内，因为点在上，且IIIAG AEF G PB2,3PGPB= () 2, 1, 2 ,PB = uur 所以 2424, 3333 PGPB = uuu ruur， 42 2, 33 3 AGAPPG =+= uuu ruu u ruuu r. 关注微信公众号：加油高三 由（ ）平面的法向量为II知，AEF () 1, 1,1= n， 所以4220333 AG+=uuu r n = - ，所以直线在平面内AG AEF . 8.解析：解析：解析：解析：解析：方法一： （I）连接A1E，因为A1A A=1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC AC=， 所以，A1E平面ABC，则A1EBC. 又因为A1FAB，ABC=90 ，故BCA1F. 所以BC平面A1EF. 因此EFBC. （）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形 由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=23，EG=3. 由于O为A1G的中点，故11522AG EOOG=， 所以 2223cos25 EOOGEGEOG EO OG+ = 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35 方法二： 关注微信公众号：加油高三 （）连接A1E，因为A1A A=1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC