关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 公众号 逻辑数学精品课 深度拔高系列之 导数 2020/09/16 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 导数深度拔高系列讲义 第 1 篇：导数压轴之证明不等式 作者：山东济南徐伟 微信：luoji-math 目录 考点一：放缩 . 3 题型 1：前问放缩 . 3 题型 1.1：待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出 . 3 题型 1.2：待证不等式由已证（知）不等式变量换元得出 . 5 题型 1.3：已证（知）不等式混入待证不等式 . 9 题型 2. 切线放缩（函数不等式放缩）+构造函数 . 12 题型 3：三角函数有界性放缩+端点验证 . 14 题型 4.裂项放缩 . 16 题型 5：参数放缩 . 18 考点二：极值点偏移+单调性放缩 . 19 考点三：隐零点替换+同构 . 26 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 考点一：放缩 首先，放缩的意义. 在不等式的证明过程中，由于待证式的结构过于复杂，使不等式的证明难以进行，此时通过放缩让待证不等式的结构变得简单、易于化简. 题型 1：前问放缩 总述：当待证不等式与前问已证（知）不等式之间存在关联时，我们往往可以借助前问结论证明待证不等式，根据待证不等式与前问不等式之间的不同关联，我们的解题突破口也有所不同，基于此我们将此类放缩分为以下 3 种题型，分别为： 题型 1.1：待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出；题型 1.2：待证不等式由已证（知）不等式变量换元得出；题型 1.3：已证（知）不等式混入待证不等式.放缩的总策略是：以相似（同）为突破，无相似（同）就趋同.下面再通过例题，分别对三种题型的处理策略进行具体说明. 题型 1.1：待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出 【技能储备】 题型特点： 待证不等式由已证（知）不等式累加累乘得出 处理策略：以相似（同）为突破，无相同就趋同 以待证不等式和已证（知）不等式的结构关联为突破结构关联为突破，将待证不等式化整为零分为若干部分，要求每一部分都要向已证不等式趋同转化，然后借助已证（知）不等式，逐个放缩，最后通过累加累乘整合出证明结果. 说明： 下文例 1 是待证不等式由已证（知）不等式累乘得出 下文例 2 是待证不等式由已证（知）不等式累加得出 【以三角函数为载体的相关例题】 例例 1.（2020 全国理 21）已知函数( )2sinsin2f xxx= （1）讨论( )f x在区间()0,的单调性； （2）证明：( )3 38f x ； （3）设*nN，证明：22223sinsin 2 sin 4sin 24nnnxxxx L 解析 (1)由函数的解析式可得：( )32sincosf xxx=，则： 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 ( )()2242 3sincossinfxxxx=()2222sin3cossinxxx= ()222sin4cos1xx=()()22sin2cos1 2cos1xxx=+， ( )0fx =在()0,x上的根为：122,33xx=， 当0,3x时，( )( )0,fxf x单调递增； 当2,33x时，( )( )0,fxf x单调递减； 当2,3x时，( )( )0,fxf x单调递增 (2)注意到()()()( )22sinsin 2sinsin2f xxxxxf x+=+=， 故函数( )f x是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得：( )( )00ff=， 2333 33228f=，22333 33228f= = ， 据此可得：( )max3 38f x=，( )min3 38f x= ，即( )3 38f x (3)分析： 前问已证不等式为：23 3|sinsin2 |8xx 待证不等式：22223sinsin 2 sin 4sin 24nnnxxxx 观察结构不难联想，待证不等式是由已证不等式累乘变形得出，于是将待证不等式化整为零，并向已证不等式趋同转化（期间用到了添项、凑项） ，具体操作如下： 2222sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx 22222123sin(sinsin2 ) (sin 2 sin4 ) (sin 4 sin8 )(sin 2sin2) sin 2nnnxxxxxxxxxx= 2323 33 33 3sinsin 2888nxxL233 38n34n= 例例 2.已知函数sin(1)ln ,axx+其中.aR （1）若函数( )f x在区间(0,1)上递增，求a的取值范围； （2）证明：211sinln3ln2.(2)nkk=+ 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 解析 （1）答案：1a ；解析：略 （2）分析： 前问已证不等式为：1a 时，( )f x在区间(0,1)上递增 ( )sin(1)ln(1)0f xxxf=+= 1sin(1)lnlnxxx = 待证不等式：2113sinln3ln2ln(2)2nkk=+ 前问已证不等式为与待证不等式均为正弦函数与对数函数的不等关系， 并且观察结构不难猜出，待证不等式是由已证不等式变量换元后，变量换元后，累累加加得出，于是将待证不等式化整为零，并向已证不等式趋同转化，趋同先趋同变量，具体操作如下： 令2112xn=+，化简得221(1)(3)1(2)(2)nnxnn+= =+ 所以221(2)sinln(2)(1)(3)nnnn+ 所以：222222221111345(2)sinsinsinsinln()(2 1)(22)(23)(2)2 43 54 6( +1)3)nnnn+（ 222211113 23sinsinsinsinln()lnln3ln2(2 1)(22)(23)(2)232nnn+=+ 题型 1.2：待证不等式由已证（知）不等式变量换元得出 【技能储备】 1.题型特点： 待证不等式由已证（知）不等式进行变量换元得出 2.处理策略：以相似（同）为突破，无相似（同）就趋同 以待证不等式和已证（知）不等式的变量关联为突破变量关联为突破（变量趋同是结构趋同的先决条件） 究竟如何突破变量之间的关联？ 可以从以下两个角度进行尝试 角度 1：当待证不等式与已证（知）不等式结构差异较小结构差异较小，或者说仅存在变量上的差异时，直接将已证不等式中的变量换元成待证不等式中的变量，得出新的不等关系，辅助证明待证不等式.详情见上文例 2: “令2112xn=+” 角度 2：当待证不等式与已证（知）不等式结构差异较大结构差异较大时（原因可能是由于在变量换元时附关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 带了某种运算化简）此时往往以前后两不等式成立时的自变量的范围为突破，整合待证不等式的某一部分t，使得t的范围与已证不等式成立时的变量范围一致（或为其子集），进而将t视为待证不等式中新的变量.然后进行如下操作： Step1.从变量趋同推部分的结构趋同 将t与前问不等式中的变量进行对照，然后化简，使二者所处位置的结构一致 Step2.从部分结构趋同到整体结构趋同 将前后趋同的两部分结构剔除，然后化简，使得剩余部分的结构产生关联或一致，详情见下文例 3. 【以三角函数为载体的相关例题】 例例 3.（2019 天津理 20）设函数( )e cos ,( )xf xxg x=为( )f x的导函数. （）求( )f x的单调区间； （）当 ,4 2x时，证明( )( )02f xg xx+； （）设nx为函数( )( ) 1u xf x=在区间(2,2)42nn+内的零点，其中nN，证明20022sinceosnnnxxx+. 解析 （）由已知，有.因此，当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增. 所以，的单调递增区间为的单调递减区间为. （）记.依题意及（） ，有，从而. 当时，故. ( )e (cossin )xfxxx=52,244xkk+()k Zsincosxx( )0fx ( )f x32,244xkk+()k Zsincosxx( )0fx ( )f x( )f x32,2(),( )44kkkf x+Z52,2()44kkk+Z( )( )( )2h xf xg xx=+( )e (cossin )xg xxx=( )2e sinxg xx= ,4 2x( )0gx ( )( )( )( )( 1)( )022h xfxg xxg xg xx=+=关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 因此，在区间上单调递减，进而. 所以，当时，. （）分析 前问已证不等式为：由（）知，当 ,4 2x时：( )( )()02f xg xx+， 待证不等式：20022sincosnnenxxx+ 待证不等式与已证不等式均是与三角函数与指数函数相关的不等式，猜测此题可以进行前问放前问放缩缩，只是目前两者结构存在较大差异（排除题型 2 角度 1），且没有明显的累加累乘关联（排除题型 1），（猜测题型 2 角度 2）于是先变量趋同（变量趋同是结构趋同的先决条件），对比前后不等式成立的变量的范围， 前问已证不等式成立时的自变量范围： ,4 2x， 当前待证不等式成立时的自变量范围：(2,2)42nxnn+ 对比前后不等式成立时的自变量范围再结合待证不等式的结构，不难发现将2nxn整体视为待证不等式中新的变量，记为ny（,4 2ny ） ，就能保证待证不等式与已证（知）不等式中的自变量范围一致，同时将待证不等式中的变量统一换成ny的形式，改变待证不等式原有的结构，进一步寻求待证不等式与已证（知）不等式结构上的关联，最终实现结构趋同.具体操作见下文 记，则，于是待证不等式转化为：0020202sinc22sincososnnnnenxxxeyxx+ 此时再对照已证不等式：( )( )()02f xg xx+ 此时，待证不等式与已证（知）不等式中的相同结构为2ny，于是以此部分结构为突破化简，将已证不等式向待证不等式趋同（没错，趋同是双向的） ： ( )( ( )0)2( )f xxg xg x 此时将nxy=代入式得：()2()nnnf yyg y ( )h x,4 2 ( )022h xhf=,4 2x ( )( )02f xg xx+2nnyxn=,4 2ny 关注微信公众号：逻辑数学精品课，获取号内其他深度系列讲义！ 逻辑出品，必属精品 加入 QQ 群 439883560，获取本期学生 Word 版讲义 逻辑出品，必属精品 再对照式与式，不难发现若2()nnf ye或00()sincosng yxx不等式即得证. 下面分别验证： 22cos()(2)cos(2)nnxxnnnnnnexf yf xnexne= 又因为：nx为函数( )( ) 1u xf x=的零点，所以()cos1nxnnf xex= 代入式得：2()nnf ye= 下面验证00()sincosng yxx 由（）知，当时，所以在上为减函数，因此0()(),ng yg y于是000000()()