关注微信公众号：加油高三 专题八立体几何 第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系 2019 年1.（2019 全国理 8）如图，点 N为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则 ABM EN=，且直线BM、EN 是相交直线 BBM EN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBM EN=，且直线 BM、EN 是异面直线 DBM EN，且直线 BM，EN 是异面直线 2.（2019 全国理 7）设 ，为两个平面，则 的充要条件是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C，平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 3. （2019 江苏 16） 如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1 中， D， E 分别为 BC， AC 的中点， AB=BC 求证：（1）A1B1 平面 DEC1； （ ）2BEC1E 4.2019 （北京理 12）已知 ，是平面外的两条不同直线 给出下列三个论断lma .: lm； maP； la 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题: _. 2010-2018 年一、选择题 1 (2018 全国卷)已知正方体的棱长为 ， 每条棱所在直线与平面1所成的角相等， 则截此正方体所得截面面积的最大值为 关注微信公众号：加油高三 A3 34 B2 33 C3 24 D32 2(2018 全国卷 在长方体) 1111 ABCDABC D中， 1=ABBC，13=AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为 A15 B56 C55 D22 3(2018 )浙江 已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的 A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件既不充分也不必要条件 D 4(2018 )浙江 已知四棱锥 SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角 SAB C的平面角为3，则 A 123 B 321 C 132 D 231 5(2017 新课标 已知直三棱柱) 111 ABCABC中，120ABC=， 2AB=， 1 1BCCC=，则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为 A32 B155 C105 D33 6（2017 浙江）如图，已知正四面体 DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点， APPB=，2 BQCR QCRA=， 分别记二面角 DPRQ， DPQR， DQRP的平面角为，则 关注微信公众号：加油高三 RQPABCD A B C D 72016 I （年全国 ） 平面过正方体 1111 ABCDABC D的顶点A，平面11CB D， I平面ABCD=m， I平面11 ABB A=n，则m，n所成角的正弦值为 A32 B22 C33 D13 82015 （福建）若, l m 是两条不同的直线，m垂直于平面 ，则“lm ”是“l”的 A充分而不必要条件必要而不充分条件 B C充分必要条件既不充分也不必要条件 D 92015 （浙江） 如图， 已知ABC，D是AB的中点， 沿直线CD将ACD翻折成 ACD，所成二面角 ACDB的平面角为，则 10 （ 2014 广东）若空间中四条两两不同的直线 1234 , , ,l l l l，满足 122334 ,ll ll ll，则下面结论一定正确的是 A14ll B14/ /ll C14,l l既不垂直也不平行 D14,l l的位置关系不确定 11 （2014 浙江）设,m n是两条不同的直线，, 是两个不同的平面 关注微信公众号：加油高三 A若mn，/n，则m B若/m，则m C若 ,mnn 则m D若mn，n，则m 12 （ 2014 辽宁）已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A若 / / , / / ,mn则/mn B若m，n，则mn C若m，mn，则/ /n D若/m，mn，则n 13 （ 2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小 （仰角为直线AP与平面ABC所成角） 若 15ABm=， 25ACm=， 30BCM=则tan的最大值 MCABP A305 B3010 C4 39 D5 39 14 （2014 四川） 如图， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 点O为线段BD的中点 设点P在线段1CC上，直线OP与平面1 ABD所成的角为，则sin的取值范围是 OA1ABB1CC1D1D A3 ,13 B6 ,13 C 6 2 2 ,33 D2 2 ,13 15 （2013 新课标）已知,m n为异面直线，m平面，n平面直线l满足 ,lm ln，,ll，则 A且l B 且l 关注微信公众号：加油高三 C与相交，且交线垂直于l D与相交，且交线平行于l 16 （2013 广东）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A若,m,n,则mn B若/,m,n,则/mn C若mn,m,n,则 D若m,/mn,/n,则 17 （ 2012 浙江）设l是直线，, 是两个不同的平面 A若l，l，则 B若l，l，则 C若，l，则l D若, l，则l 18 （2012 浙江）已知矩形ABCD， 1AB =， 2BC =将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中， A存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D对任意位置，三对直线“AC与BD” ， “AB与CD” ， “AD与BC”均不垂直 19 （ 2011 浙江）下列命题中错误的是 A如果平面 平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面，平面 平面，=l，那么l 平面 D如果平面 平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 20 （ 2010 山东）在空间，下列命题正确的是 A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 二、填空题 关注微信公众号：加油高三 21(2018 全国卷 已知圆锥的顶点为)S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆 锥底面所成角为 45 ，若SAB的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 22 （2016年全国 II），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么 如果m，n，那么mn 如果a，m，那么m 如果m n， ，那么与m 所成的角和与n 所成的角相等 其中正确的命题有 填写所有正确命题的编 (号） 23 （2015 浙江）如图，三棱锥 ABCD中， 3ABACBDCD=， 2ADBC=，点,M N分别是 ,AD BC的中点，则异面直线 ,AN CM所成的角的余弦值是 24 （ 2015 四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，,E F分别为 ,AB BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_ 25 （ 2017 新课标）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a 成 60 角时，AB与b 成 30 角； 当直线AB与a 成 60 角时，AB与b 成 60 角； 直线AB与a 所成角的最小值为 45 ； 直线AB与a 所成角的最小值为 60 ； 关注微信公众号：加油高三 其中正确的是_( 填写所有正确结论的编号) 三、解答题 26 （江苏）在平行六面体2018 1111 ABCDABC D中，1 AAAB=， 111 ABBC D1C1B1A1DCBA 求证：(1)AB平面11 ABC； (2)平面11 ABB A平面1 ABC 27 （浙江）如图，已知多面体2018 111 ABCABC，1A A，1B B，1C C均垂直于平面ABC，120ABC=，14A A=，11C C =，1 2ABBCB B= C1B1A1CBA (1)证明：1AB平面 111 ABC； (2)求直线1AC与平面1ABB所成的角的正弦值 28 （ 2017 浙江）如图，已知四棱锥 PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， BCAD， CDAD， 22PCADDCCB=，E为PD的中点 （）证明：CE平面PAB； （）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 关注微信公众号：加油高三 EDCBAP 29 （2017 江苏）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABAD，BCBD，平面平面ABDBCD， 点、 （与、不重合）分别在棱，上，且EFEAD ADBD EFAD 求证： （ ）；1EF平面 ABC （ ）2ADAC FABCDE 30 （山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形2017 ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点 （）设P是CE上的一点，且 APBE，求CBP的大小； （）当3AB =，2AD =，求二面角 EAGC的大小 关注微信公众号：加油高三 31 （2017 江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均 为 32cm， 容器的底面对角线AC 的长为107cm， 容器的两底面对角线EG，11E G 的长分别为和14cm 62cm 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm 现有一根玻璃棒l ，其长度为 40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1CC上，求l没入水中部分的长度； （2）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度 32 （2016 全国 I）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形， 2AFFD=，90AFD=，且二面角 DAFE与二面角 CBEF都是60 关注微信公众号：加油高三 （ ）证明：平面IABEF平面EFDC； （ ）求二面角II EBCA的余弦值 33 （2016全国 II）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD交于点 O， 5AB=， 6AC=， 点 E，F 分别在 AD，CD 上，54 AECF=，EF交 BD 于点H将DEF沿EF 折到DEF的位置，10OD= （I）证明：DH平面 ABCD； （II）求二面角 BDA C的正弦值 34 （ 2016 全国 III）如图，四棱锥 PABCD中，PA底面ABCD， ADBC， =3AB ADAC=， 4PABC=，M为线段AD上一点， 2AMMD=， N为PC的中点 （）证明MN平面PAB； （）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值 关注微信公众号：加油高三 PABDCNM 35 （ 2014 山东）如图，四棱锥 PABCD中， APPCD平面， ADBC， 1,2 ABBCAD E F=分别为线段 ,AD PC的中点. （）求证： APBEF平面； （）求证： BEPAC平面. 36(2014 )江苏 如图，在三棱锥 ABCP 中，D，E，F 分别为棱 ABACPC,的中点已知 ACPA，, 6=PA . 5, 8=DFBC PABCFDE 求证： （）直线PA平面DEF； （）平面BDE平面ABC 3714（20新课标） 如图， 四棱锥 PABCD中， 底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 关注微信公众号：加油高三 （）证明：PB平面AEC； （）设二面角 DAEC 为 60，AP=1，AD=3，求三棱锥 EACD的体积 38 （ 2014 天津）如图四棱锥 PABCD的底面AB