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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回2答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效5如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知函数,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为( )A1BCD2已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为( )ABCD3函数(其中,)的图象如图,则此函数表达式为( )ABCD4已知直线与直线则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知集合,则=ABCD6已知集合,则ABCD7已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为( )ABCD8若的内角满足,则的值为( )ABCD9如图,在正四棱柱中,分别为的中点,异面直线与所成角的余弦值为,则( )A直线与直线异面,且B直线与直线共面,且C直线与直线异面,且D直线与直线共面,且10设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为( )ABCD11已知,由程序框图输出的为( )A1B0CD12设全集U=R,集合,则()ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13已知,满足不等式组,则的取值范围为_14给出以下式子:tan25+tan35tan25tan35;2(sin35cos25+cos35cos65);其中,结果为的式子的序号是_.15如图,某市一学校位于该市火车站北偏东方向,且,已知是经过火车站的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧都是学校道路,其中,以学校为圆心,半径为的四分之一圆弧分别与相切于点.当地政府欲投资开发区域发展经济,其中分别在公路上,且与圆弧相切,设,的面积为.(1)求关于的函数解析式;(2)当为何值时,面积为最小,政府投资最低?16已知抛物线的焦点为,直线与抛物线相切于点,是上一点(不与重合),若以线段为直径的圆恰好经过,则点到抛物线顶点的距离的最小值是_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100 cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.18(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(为参数)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(1)求曲线的极坐标方程;(2)设和交点的交点为,求 的面积19(12分)如图,在中,角的对边分别为,且满足,线段的中点为.()求角的大小;()已知,求的大小.20(12分)已知函数.()若,求曲线在处的切线方程;()当时,要使恒成立,求实数的取值范围.21(12分)函数(1)证明:;(2)若存在,且,使得成立,求取值范围.22(10分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题, 总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增, 无最大值.若,则当时,在上单调递减, 当时,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时, ,在递减;当时, ,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.2C【解析】不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.3B【解析】由图象的顶点坐标求出,由周期求出,通过图象经过点,求出,从而得出函数解析式.【详解】解:由图象知,则,图中的点应对应正弦曲线中的点,所以,解得,故函数表达式为故选:B.【点睛】本题主要考查三角函数图象及性质,三角函数的解析式等基础知识;考查考生的化归与转化思想,数形结合思想,属于基础题.4B【解析】利用充分必要条件的定义可判断两个条件之间的关系.【详解】若,则,故或,当时,直线,直线 ,此时两条直线平行;当时,直线,直线 ,此时两条直线平行.所以当时,推不出,故“”是“”的不充分条件,当时,可以推出,故“”是“”的必要条件,故选:B.【点睛】本题考查两条直线的位置关系以及必要不充分条件的判断,前者应根据系数关系来考虑,后者依据两个条件之间的推出关系,本题属于中档题.5C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养采取数轴法,利用数形结合的思想解题【详解】由题意得,则故选C【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分6C【解析】分析:根据集合可直接求解.详解:,故选C点睛:集合题也是每年高考的必考内容,一般以客观题形式出现,一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式,如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决,若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.7B【解析】根据分段函数,分当,将问题转化为的零点问题,用数形结合的方法研究.【详解】当时,令,在是增函数,时,有一个零点,当时,令当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,所以当时,取得最大值,因为在上有3个零点,所以当时,有2个零点,如图所示:所以实数的取值范围为综上可得实数的取值范围为, 故选:B【点睛】本题主要考查了函数的零点问题,还考查了数形结合的思想和转化问题的能力,属于中档题.8A【解析】由,得到,得出,再结合三角函数的基本关系式,即可求解.【详解】由题意,角满足,则,又由角A是三角形的内角,所以,所以,因为,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质,以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题,着重考查了推理与计算能力.9B【解析】连接,由正四棱柱的特征可知,再由平面的基本性质可知,直线与直线共面.,同理易得,由异面直线所成的角的定义可知,异面直线与所成角为,然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示:连接,由正方体的特征得,所以直线与直线共面.由正四棱柱的特征得,所以异面直线与所成角为.设,则,则,由余弦定理,得.故选:B【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质,还考查了推理论证和运算求解的能力,属于中档题.10C【解析】如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,故,在中,故,故,根据勾股定理:,解得.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11D【解析】试题分析:,所以,所以由程序框图输出的为.故选D考点:1、程序框图;2、定积分12A【解析】求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可【详解】,则,故选:A【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算,考查指数不等式和二次不等式的解法,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,易知在点处取得最小值,即,所以由图可知的取值范围为14【解析】由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【详解】tan60tan(25+35),tan25+tan35tan25tan35;tan25tan35,2(sin35cos25+cos35cos65)2(sin35cos25+cos35sin25),2sin60;tan(45+15)tan60;故答案为:【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用,属于中档试题.15(1);(2).【解析】(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,进而表示直线的方程,由直线与圆相切构建关系化简整理得,即可表示OA,OB,最后由三角形面积公式表示面积即可;(2)令,则,由辅助角公式和三角函数值域可求得t的取值范围,进而对原面积的函数用含t的表达式换元,再令进行换元,并构建新的函数,由二次函数性质即可求得最小值.【详解】解:(1)以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则,在中,设,又,故,.所以直线的方程为,即.因为直线与圆相切,所以.因为点在直线的上方,所以,所以式可化为,解得.所以,.所以面积为.(2)令,则,且,所以,.令,所以在上单调递减.所以,当,即时,取得最大值,取最小值.答:当时,面积为最小,政府投资最低.【点睛】本题考查三角函数的实际应用,应优先结合实际建立合适的数学模型,再按模型求最值,属于难题.16【解析】根据抛物线,不妨设,取 ,通过求导得, ,再根据以线段为直径的圆恰好经过,则 ,得到,两式联立,求得点N的轨迹,再求解最值.【详解】因为抛物线,不妨设,取 ,所以,即,所以 ,因为以线段为直径的圆恰好经过,所以 ,所以,所以,由 ,解得,所以点在直线 上,所以当时, 最小,最小值为.故答案为:2
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