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2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知复数满足,且,则( )A3BCD2已知向量,则向量在向量方向上的投影为( )ABCD3祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是说:两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设、为两个同高的几何体,、的体积不相等,、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知,是的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知向量,则是的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件5已知,则的最小值为( )ABCD6已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为( )ABCD17已知命题:使成立 则为( )A均成立B均成立C使成立D使成立8某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )AB3CD49一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )ABCD10记其中表示不大于x的最大整数,若方程在在有7个不同的实数根,则实数k的取值范围( )ABCD11在复平面内,复数(,)对应向量(O为坐标原点),设,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:,则,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:,已知,则( )AB4CD1612设是虚数单位,复数()ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13设满足约束条件且的最小值为7,则_.14正方形的边长为2,圆内切于正方形,为圆的一条动直径,点为正方形边界上任一点,则的取值范围是_.15设双曲线的左焦点为,过点且倾斜角为45的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于,两点若,则的离心率为_16已知函数的最小值为2,则_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)如图,在等腰梯形中,ADBC,分别为,的中点,以为折痕将折起,使点到达点位置(平面)(1)若为直线上任意一点,证明:MH平面;(2)若直线与直线所成角为,求二面角的余弦值18(12分)已知函数(),且只有一个零点.(1)求实数a的值;(2)若,且,证明:.19(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,使.20(12分)已知函数,.(1)若不等式对恒成立,求的最小值;(2)证明:.(3)设方程的实根为.令若存在,使得,证明:.21(12分)如图,四棱锥中,平面平面,若,四边形是平行四边形,且.()求证:;()若点在线段上,且平面,求二面角的余弦值.22(10分)已知在中,角,的对边分别为,的面积为.(1)求证:;(2)若,求的值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1C【解析】设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C【点睛】本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.2A【解析】投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.【点睛】本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.3A【解析】由题意分别判断命题的充分性与必要性,可得答案.【详解】解:由题意,若、的体积不相等,则、在等高处的截面积不恒相等,充分性成立;反之,、在等高处的截面积不恒相等,但、的体积可能相等,例如是一个正放的正四面体,一个倒放的正四面体,必要性不成立,所以是的充分不必要条件,故选:A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定,意在考查学生的逻辑推理能力.4A【解析】向量,则,即,或者-1,判断出即可【详解】解:向量,则,即,或者-1,所以是或者的充分不必要条件,故选:A【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查向量平行的坐标表示,属于基础题.5B【解析】 ,选B6B【解析】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.7A【解析】试题分析:原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即考点:全称命题.8C【解析】首先把三视图转换为几何体,该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,如图所示:故:.故选:C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式,考查了空间想象能力,属于基础题.9D【解析】试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.10D【解析】做出函数的图象,问题转化为函数的图象在有7个交点,而函数在上有3个交点,则在上有4个不同的交点,数形结合即可求解.【详解】作出函数的图象如图所示,由图可知 方程在上有3个不同的实数根,则在上有4个不同的实数根,当直线经过时,;当直线经过时,可知当时,直线与的图象在上有4个交点,即方程,在上有4个不同的实数根.故选:D.【点睛】本题考查方程根的个数求参数,利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键,运用数形结合是解决函数零点问题的基本思想,属于中档题.11D【解析】根据复数乘方公式:,直接求解即可.【详解】, .故选:D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法,解题的关键是理解棣莫弗定理,将复数化为棣莫弗定理形式,属于基础题.12D【解析】利用复数的除法运算,化简复数,即可求解,得到答案【详解】由题意,复数,故选D【点睛】本题主要考查了复数的除法运算,其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。133【解析】根据约束条件画出可行域,再把目标函数转化为,对参数a分类讨论,当时显然不满足题意;当时,直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当时,的截距没有最小值,即z没有最小值;当时,的截距没有最大值,即z没有最小值,综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点,由可得,当时显然不满足题意;当即时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);当即时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;当即时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.【点睛】本题主要考查线性规划问题,约束条件和目标函数中都有参数,要对参数进行讨论.14【解析】根据向量关系表示,只需求出的取值范围即可得解.【详解】由题可得:,故答案为:【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围,涉及基本运算,关键在于恰当地对向量进行转换,便于计算解题.15【解析】设直线的方程为,与联立得到A点坐标,由得,代入可得,即得解.【详解】由题意,直线的方程为,与联立得,由得,从而,即,从而离心率故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16【解析】首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号,之后再结合后边的函数解析式,对照函数值等于2的时候对应的自变量的值,从而得到分段函数的分界点,从而得到相应的等量关系式,求得参数的值.【详解】根据题意可知,可以发现当或时是分界点,结合函数的解析式,可以判断0不可能,所以只能是是分界点,故,解得,故答案是.【点睛】本题主要考查分段函数的性质,二次函数的性质,函数最值的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)见解析(2)【解析】(1)根据中位线证明平面平面,即可证明MH平面;(2)以,为,轴建立空间直角坐标系,找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】(1)证明:连接,分别为,的中点,又平面,平面,平面,同理,平面,平面,平面,平面平面,平面,平面(2)连接,在和中,由余弦定理可得,由与互补,可解得,于是,直线与直线所成角为,又,即,平面,平面平面,为中点,平面,如图所示,分别以,为,轴建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,即令,则,可得平面的一个法向量为又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为【点睛】此题考查线面平行,建系通过坐标求二面角等知识点,属于一般性题目.18(1)(2)证明见解析【解析】(1)求导可得在上,在上,所以函数在时,取最小值,由函数只有一个零点,观察可知则有,即可求得结果.(2)由(1)可知为最小值,则构造函数(),求导借助基本不等式可判断为减函数,即可得,即则有,由已知可得,由,可知 ,因为时,为增函数,即可得证得结论.
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