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2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则ABCD2已知i为虚数单位,则( )ABCD3若函数的图象上两点,关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是( )ABCD4已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则( )ABCD5已知函数,则下列结论错误的是( )A函数的最小正周期为B函数的图象关于点对称C函数在上单调递增D函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到6设向量,满足,则的取值范围是ABCD7已知数列的前n项和为,且对于任意,满足,则( )ABCD8已知函数(,是常数,其中且)的大致图象如图所示,下列关于,的表述正确的是( )A,B,C,D,9函数在的图象大致为( )ABCD10根据散点图,对两个具有非线性关系的相关变量x,y进行回归分析,设u= lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到线性回归方程为=0.5v+2,则变量y的最大值的估计值是( )AeBe2Cln2D2ln211集合,则( )ABCD12已知函数是奇函数,则的值为( )A10B9C7D1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_14已知抛物线,点为抛物线上一动点,过点作圆的切线,切点分别为,则线段长度的取值范围为_.15已知双曲线()的左右焦点分别为,为坐标原点,点为双曲线右支上一点,若,则双曲线的离心率的取值范围为_.16若实数,满足,则的最小值为_三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知数列的前项和为,且满足()求数列的通项公式;()证明:18(12分)已知,且的解集为.(1)求实数,的值;(2)若的图像与直线及围成的四边形的面积不小于14,求实数取值范围.19(12分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列,求证:.20(12分)平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,点(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点,曲线与曲线交于点,求的面积21(12分)在中,、分别是角、的对边,且.(1)求角的值;(2)若,且为锐角三角形,求的取值范围.22(10分)设椭圆:的左、右焦点分别为,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.(1)求椭圆的标准方程.(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1B【解析】由题意知,由,知,由此能求出【详解】由题意知,解得,故选:B【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意二项分布的灵活运用2A【解析】根据复数乘除运算法则,即可求解.【详解】.故选:A.【点睛】本题考查复数代数运算,属于基础题题.3D【解析】由题可知,可转化为曲线与有两个公共点,可转化为方程有两解,构造函数,利用导数研究函数单调性,分析即得解【详解】函数的图象上两点,关于直线的对称点在上,即曲线与有两个公共点,即方程有两解,即有两解,令,则,则当时,;当时,故时取得极大值,也即为最大值,当时,;当时,所以满足条件故选:D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.4A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.5D【解析】由可判断选项A;当时,可判断选项B;利用整体换元法可判断选项C;可判断选项D.【详解】由题知,最小正周期,所以A正确;当时,所以B正确;当时,所以C正确;由的图象向左平移个单位,得,所以D错误.故选:D.【点睛】本题考查余弦型函数的性质,涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识,是一道中档题.6B【解析】由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.7D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可【详解】当时,所以数列从第2项起为等差数列,所以,故选:【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题8D【解析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出,故得,故选:D【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征,本题属于基础题.9B【解析】先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.10B【解析】将u= lny,v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2,利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解:将u= lny,v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得:,即,当时,取到最大值2,因为在上单调递增,则取到最大值.故选:B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题,考查复合型指数函数的最值,是基础题,.11A【解析】解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.12B【解析】根据分段函数表达式,先求得的值,然后结合的奇偶性,求得的值.【详解】因为函数是奇函数,所以,.故选:B【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值,考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力,分析问题、解决问题的能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。132025【解析】利用赋值法,结合展开式中各项系数之和列方程,由此求得的值.再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的系数.【详解】依题意,令,解得,所以,则二项式的展开式的通项为:令,得,所以的系数为.故答案为:2025【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和,考查二项式展开式指定项系数的求法,属于基础题.14【解析】连接,易得,可得四边形的面积为,从而可得,进而求出的取值范围,可求得的范围.【详解】如图,连接,易得,所以四边形的面积为,且四边形的面积为三角形面积的两倍,所以,所以,当最小时,最小,设点,则,所以当时,则,当点的横坐标时,此时,因为随着的增大而增大,所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查抛物线上的动点到定点的距离的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.15【解析】法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得,,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令,则,令对函数求导研究函数在上单调性,可求得离心率的范围.法二:令,根据直角三角形的性质和勾股定理得,将离心率表示成关于角的三角函数,根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数,可求得离心率的范围.【详解】法一:,,,,设,则,令,所以时,在上单调递增, ,.法二:,令,.故答案为:.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题,关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关,从而将离心率表示关于某个量的函数,属于中档题.16【解析】由约束条件先画出可行域,然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域,如图所示,由,即,当平行线经过点时取到最小值,由可得,此时,所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识,解题的一般步骤为先画出可行域,然后改写目标函数,结合图形求出最值,需要掌握解题方法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(),()见解析【解析】(1)由,分和两种情况,即可求得数列的通项公式;(2)由题,得,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案.【详解】()解:由题,得当时,得;当时,整理,得数列是以1为首项,2为公比的等比数列,;()证明:由()知,故故得证【点睛】本题主要考查根据的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n项和公式求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.18(1),;(2)【解析】(1)解绝对值不等式得,根据不等式的解集为列出方程组,解出即可;(2)求出的图像与直线及交点的坐标,通过分割法将四边形的面积分为两个三角形,列出不等式,解不等式即可.【详解】(1)由得:,即,解得,.(2)的图像与直线及围成的四边形,.过点向引垂线,垂足为,则.化简得:,(舍)或.故的取值范围为.【点睛】
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