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2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是( )ABCD2函数(其中是自然对数的底数)的大致图像为( )ABCD3设a,b,c为正数,则“”是“”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不修要条件4如图所示的程序框图,当其运行结果为31时,则图中判断框处应填入的是( )ABCD5中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地,请问第二天比第四天多走了( )A96里B72里C48里D24里6已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围是( )ABCD7已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )AB64CD328抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是( )ABCD9已知偶函数在区间内单调递减,则,满足( )ABCD10根据散点图,对两个具有非线性关系的相关变量x,y进行回归分析,设u= lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到线性回归方程为=0.5v+2,则变量y的最大值的估计值是( )AeBe2Cln2D2ln211若直线与圆相交所得弦长为,则( )A1B2CD312已知双曲线的一条渐近线方程为,则双曲线的离心率为( )ABCD二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13在中,已知是的中点,且,点满足,则的取值范围是_.14以,为圆心的两圆均过,与轴正半轴分别交于,且满足,则点的轨迹方程为_15已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为_.16在中,内角的对边分别是,若,则_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数,曲线在点处的切线在y轴上的截距为.(1)求a;(2)讨论函数和的单调性;(3)设,求证:.18(12分)已知数列,满足.(1)求数列,的通项公式;(2)分别求数列,的前项和,.19(12分)已知椭圆:(),四点,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.20(12分)在中,角的对边分别为.已知,且.(1)求的值;(2)若的面积是,求的周长.21(12分)在三棱柱中,四边形是菱形,点M、N分别是、的中点,且.(1)求证:平面平面;(2)求四棱锥的体积.22(10分)如图,在四棱锥中,.(1)证明:平面;(2)若,为线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选2D【解析】 由题意得,函数点定义域为且,所以定义域关于原点对称, 且,所以函数为奇函数,图象关于原点对称, 故选D.3B【解析】根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解:,为正数,当,时,满足,但不成立,即充分性不成立,若,则,即,即,即,成立,即必要性成立,则“”是“”的必要不充分条件,故选:【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键4C【解析】根据程序框图的运行,循环算出当时,结束运行,总结分析即可得出答案.【详解】由题可知,程序框图的运行结果为31,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,.此时输出.故选:C.【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构,已知输出结果求条件框,属于基础题.5B【解析】人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,计算,代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,则,解得,从而可得,故.故选:.【点睛】本题考查了等比数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.6B【解析】根据所给函数解析式,画出函数图像.结合图像,分段讨论函数的零点情况:易知为的一个零点;对于当时,由代入解析式解方程可求得零点,结合即可求得的范围;对于当时,结合导函数,结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意,画出函数图像如下图所示:函数的零点,即.由图像可知,所以是的一个零点,当时,若,则,即,所以,解得;当时,则,且若在时有一个零点,则,综上可得,故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的画法,函数零点定义及应用,根据零点个数求参数的取值范围,导数的几何意义应用,属于中档题.7A【解析】根据三视图,还原空间几何体,即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图,还原空间几何体如下图所示:可知该几何体是底面在左侧的四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高为4,故.故选:A【点睛】本题考查了三视图的简单应用,由三视图还原空间几何体,棱锥体积的求法,属于基础题.8A【解析】首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】样本空间样本点为个, 具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1_ _,_1_,_ _1剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个故不同的样本点数为8个,.故选:A【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题9D【解析】首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.10B【解析】将u= lny,v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2,利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值.【详解】解:将u= lny,v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得:,即,当时,取到最大值2,因为在上单调递增,则取到最大值.故选:B.【点睛】本题考查了非线性相关的二次拟合问题,考查复合型指数函数的最值,是基础题,.11A【解析】将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选:A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.12B【解析】由题意得出的值,进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为,由题意可得,因此,该双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率,利用公式计算较为方便,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】由中点公式的向量形式可得,即有,设,有,再分别讨论三点共线和不共线时的情况,找到的关系,即可根据函数知识求出范围【详解】是的中点,即设,于是(1)当共线时,因为,若点在之间,则,此时,;若点在的延长线上,则,此时,(2)当不共线时,根据余弦定理可得,解得,由,解得综上,故答案为:【点睛】本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用,以及余弦定理的应用,涉及到函数思想和分类讨论思想的应用,解题关键是建立函数关系式,属于中档题14【解析】根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上,由此得到,同理可得,由对数运算法则可知,从而化简得到,由此确定轨迹方程.【详解】,和的中点坐标为,且在线段的垂直平分线上,即,同理可得:,点的轨迹方程为故答案为:【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题,关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程,由此得到结果.15【解析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,由可得,等式两边同除可得,解得(舍);当时,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.16【解析】由,根据正弦定理“边化角”,可得,根据余弦定理,结合已知联立方程组,即可求得角.【详解】根据正弦定理:可得根据余弦定理:由已知可得:故可联立方程:解得:.由故答案为:.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角,解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1) (2)为减函数,为增函数. (3)证明见解析【解析】(1)求出导函数,求出切线方程,令得切线的纵截距,可得(必须利用函数的单调性求解);(2)求函数的导数,由导数的正负确定单调性;(3)不等式变形为,由递减,得(),即,即,依次放缩,不等式,递增得(),,先证,然后同样放缩得出结论【详解】解:(1)对求导,得.因此.又因为,所以曲线在点处的切线方程为,即.由题意,.显然,适合上式.令,求导得,因此为增函数:故是唯一解.(2)由(1)可知,因为,所以为减函数.因为,所以为增函数.(3)证明:由,易得.由(2)可知,在上为减函数.因此,当时,即.令,得,即.因此,当时,.所以成立.下面证明:.由(2)可知,在上为增函数.因此,当时
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