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本文格式为Word版,下载可任意编辑08点的合成运动 第八章 点的合成运动 8-1 如下图,光点M沿y轴作谐振动,其运动方程为: x?0, y?acos(kt?) 如将点M投影到感光记录纸上,此纸以等速ve向左运动。求点M在记录纸上的轨迹。 解:把动坐标系Oxy固连在纸上, M点的相对运动的运动方程为 x?vet,y?acos(kt?) 消去t即可得到M点在记录纸上的轨迹方程 y?acos(kx?) ve 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的十足速度va?15 m/s,并与直径成?60?角,如下图,工作轮的半径R?2 m,转速n?30 r/min。为制止水流与工作轮叶片相冲击,叶片应恰当地安装,以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作轮的相对速度的大小方向。 解:取水轮机工作轮入口处的一滴水为动点M,动坐标系建立在工作轮上,速度分析图(a),设?为vr与x轴的夹角。M点的牵连速度为 ve?R?2?n?6.283 m/s 30方向与y轴平行,由图(a) vevavr ?sin(60?)sin(90?)sin30?前一等式得vecos?vasin(60?) v?vasin60?即 tan?e vacos60?把ve?6.283 m/s及va?15 m/s代入解得?41?48 sin30?va?10.1 m/s 后一等式得vr?cos? 8-5 杆OA长l,由推杆推动而在图面内绕点O转动,如下图。假定推杆的速度为v,其弯头高为a 。试求杆端A的速度的大小(表示为推杆至点O的速度x的函数)。 解:取推杆上与AO杆接触的B点为动点,动系固连在AO上,B点速度分析如图。设OA角速度为? va?v,ve?OB?vasin?,?OB?vsin? 以 sin?x2?a2lav最终得 va?l?2,方向如图 2x?aa?OBa代入上式得,?va 22x?a mm,?1?3 rad/s。求图示8-7 在图a和b所示的两种机构中,已知O1O2?a?200位置时杆O2A的角速度。 解:(a)以套筒A为动点,O2A杆为动系,速度分析如图(a1)。 57 由速度合成定理va?ve?vr 由于?O1O2A为一等腰三角形,故 O1A?O1O2?a,O2A?2acos30?,va?a?1,ve?O2A?2a?cos30? 由图(a1)知:va? 得 a?1?2a? 故 ?va?2a? cos30?12?1.5 rad/s(逆时针转向) (b)以套筒为动点,O1A杆为动系,速度分析如图(b1)。 va?O2A?1?2a?cos30?, ve?O1A?1?a?1 vea?1? cos30?cos30?a?1 得 2a?cos30? cos30?2 所以 ?1?2 rad/s(逆时针转向) 3 由图(b1)知:va? 8-9 如下图,摇杆机构的滑杆AB以等速v向上运动,初瞬时摇杆OC水平。摇杆长 OC?a,距离OD?l。求当?时点C的速度的大小。 4解:取套筒A为动点,动系固连在OC上,如图(a) 设OC杆角速度为?,其转向逆时针。由题意及几何关系可得 va?v (1) ve?OA va? (2) (3) (4) (5) ve cos?l OA OA?l2?v2t2 cos? 将式(1)、(2)、(4)、(5)代入式(3)中,得 ?OA?OA2?(v2t2?l2) v? ?cos?ll所以 ?vla 222vt?l58 因 vC?a?当 ?vla v2t2?l2?4va故 vC? 2l时,v?t?l 8-11 绕轴O转动的圆盘及直杆OA上均有一导槽,两导槽间有一活动销子M如下图,b?0.1 m。设在图示位置时,圆盘及直杆的角速度分别为?1?9 rad/s和?2?3 rad/s。求此瞬时销子M的速度。 解:(一)动点:M;动系:轮O;定系:机架 牵连运动:定轴转动;相对运动:直线;十足运动:平面曲线 va?ve1?vr1 (1) (二)动点:M;动系:OA;定系:机架 牵连运动:定轴转动;相对运动:直线;十足运动:平面曲线 va?ve2?vr2 (2) (1)=(2) 所以 ve1 + vr1 = ve2 vr2 方向 ?OM ?OM 大小 OM?1 ? OM?2 ? 式(3)向ve2方向投影,得 ve1?vr1cos30?ve2 bb?1?2ve1?ve2cos30?4bcos30?vr1?(?1?2) cos30?cos30?312bvr1?(?1?2)?0.4 m/s 230.1ve2?3?0.346 m/s 32vr2?式(3)向vr2方向投影,得 ?v?v2?v2?0.529 m/se2r2?a所以 ? ve20.346?,?40.9?tan?0.4vr2? 8-13 直线AB以大小为v1的速度沿垂直于AB的方向向上移动;直线CD以大小为v2的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动,如下图。如两直线间的交角为?,求两直线交点M的速度。 解:先将动系固连在AB上,那么动点M的牵连速度为v1,相对速度vr1,再将动系固连在CD上,那么动点M的牵连速度为v2,相对速度vr2,见图(a),两种处境用速度合成定理矢量式分别为 vM?v1?vr1 vM?v2?vr2 59 所以 v1?vr1?v2?vr2 上式向x、y轴投影得,0?vr1?v2sin?vr2cos?,v1?0?v2cos?vr2sin? v1cos?v2 sin? 由 vM?v1?vr1得 解得 vr1? vM?v12?vr21?1sin?2v12?v2?2v1v2cos? 8-15 图示马路上行驶的两车速度都恒为72 km/h。图示瞬时,在B车中的查看者看来,车A的速度、加速度应为多大?(原书该题A、B反了) 解:(一)运动分析: 动点:A车;动系:固连于B车;定系:地面;十足运动:直线;相对运动:平面曲线;牵连运动:定轴转动。 (二)v分析 va = ve + vr 方向 vA ?OA ? ? 3vB 2 由已知知,vA?vB?20 m/s 由于 ve?30 m/s 大小 vA 所以 vr?47.32i?10j m/s,tan? 10,?11.93? 47.32 (三)a分析 aa = ae + ar + aC (*) 方向 AO ? ?vr 2大小0 AO?e ? 2?evr 202ae?150?()?6 m/s2 1001aC?2?evr?2?48.365?19.346 m/s2 5(*)式向y投影,得 ary?ae?aCcos?6?19.346cos11.93?12.9 (*)式向x投影,得 arx?aCsin?4 所以 ar?4i?12.9j m/s 60 28-17 图示铰接四边形机构中,O1A?O2B?100 mm,又O1O2?AB,杆O1A以等角速度?2 rad/s绕O1轴转动。杆AB上有一套筒C,此筒与杆CD相铰接。机构的各部件都在同一铅直面内。求当?60?时,杆CD的速度和加速度。 解:将动坐标系固连在AB杆上,取CD杆上C点为动点。杆AB及CD作平动。速度与加速度分析如图,图中vA?vB?ve,vCD?va,aA?aB?ae及aCD?aa。 于是得 vCD?va?vecos?O1A?cos?0.10 m/s aCD?aa?aesin?O1A?2sin?0.346 m/s2 方向如图。 8-19 如下图,曲柄OA长0.4 m,以等角速度?0.5 rad/s绕O轴逆时针转向转动。由于曲柄的A端推动水平板B,而使滑杆C沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹角?30?时,滑杆C的速度和加速度。 解:取曲柄OA端点A为动点,动坐标系固连在滑杆BC上,杆BC作平动,A点的牵连速度与牵连加速度即为杆BC的速度与加速度。 运动分析如图(a),得 () vC?ve?OA?cos?0.173 m/s aC?ae?OA?2cos?0.05 m/s () 方向如图 8-21 半径为R的半圆形凸轮D以等速v0沿水平线向右运动,带动从动杆AB沿铅直方向上升,如下图。求?30?时杆AB相对于凸轮的速度和加速度。 解:取杆AB的顶点A为动点,动系固连于凸轮上。杆AB的运动与A点运动一致。运动分析如下图。 (1)速度 61 9
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