本文格式为Word版，下载可任意编辑2022版高考数学（文）新增分大一轮人教版讲义第三章 导数 3.1 导数的概念及运算 最新考纲 1.了解导数概念的实际背景 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义 3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y1x3，y，yx的导数 x4.能利用根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简朴函数的导数. 考情考向分析 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中测验；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇测验；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度. 1.平均变化率 一般地，已知函数yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记xx1x0，yy1y0f(x1)f(x0)f?x0x?f?x0?yf(x0x)f(x0)，那么当x0时，商，称作函数yf(x)在区间x0，x0x(或 xxx0x，x0)的平均变化率. 2.函数yf(x)在xx0处的导数 (1)定义 称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率lim x0 f?x0x?f?x0?y lim 为函数yf(x)在xx0处的导xx0x 数，记作f(x0)，即f(x0)lim x0 f?x0x?f?x0?y lim . xx0x (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 3.函数f(x)的导函数 假设f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，那么称f(x)在区间(a，b)可导.这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f(x).于是，在区间(a，b)内，f(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yf(x)的导函数，记为f(x)或y(或yx). 4.根本初等函数的导数公式表 yf(x) yc yxn(nN) yx(x0，0且Q) yax(a0，a1) ylogax(a0，a1，x0) ysin x ycos x 5.导数的四那么运算法那么 设f(x)，g(x)是可导的，那么 (1)(f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3)? f?x?g?x?f?x?f?x?g?x? (g(x)0). ?g?x?g2?x? yf(x) y0 ynxn1，n为正整数 yx1，为有理数 yaxln a 1y xln aycos x ysin x 概念方法微斟酌 1根据f(x)的几何意义斟酌一下，|f(x)|增大，曲线f(x)的外形有何变化？ 提示 |f(x)|越大，曲线f(x)的外形越来越陡峭 2直线与曲线相切，是不是直线与曲线只有一个公共点？ 提示 不确定 题组一 斟酌辨析 1判断以下结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x0)是函数yf(x)在xx0邻近的平均变化率( ) (2)f(x0)f(x0).( ) (3)(2x)x2x1.( ) 题组二 教材改编 2若f(x)xex，那么f(1)_. 答案 2e 解析 f(x)exxex，f(1)2e. 2 3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为_ x2答案 2xy10 2 解析 y，y|x12. ?x2?2所求切线方程为2xy10. 题组三 易错自纠 4如下图为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是( ) 答案 D 解析 由yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可摈弃A，C. 又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率一致，故可摈弃B.应选D. ?sin x5若f(x)，那么f?2?_. x4答案 2 xcos xsin x?4 解析 f(x)，f?. 2?2?x26(2022天津)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，那么l在y轴上的截距为 答案 1 1 解析 f(x)a，f(1)a1. x 又f(1)a，切线l的斜率为a1，且过点(1，a)， 切线l的方程为ya(a1)(x1) 令x0，得y1，故l在y轴上的截距为1. 题型一 导数的计算 xx 12cos2?，那么f(x) . 1已知f(x)sin ?4?2?1 答案 cos x 2 xx1 cos ?sin x， 解析 由于ysin ?2?2?2111 sin x?(sin x)cos x. 所以y?2?22cos x 2已知yx，那么y_. esin xcos x 答案 excos x?cos x?ecos x?e?x解析 y? ?e?ex?2sin xcos x . ex3f(x)x(2 019ln x)，若f(x0)2 020，那么x0 . 答案 1 1 解析 f(x)2 019ln xx2 020ln x， x由f(x0)2 020，得2 020ln x02 020，x01. 4若f(x)x22xf(1)，那么f(0) . 答案 4 解析 f(x)2x2f(1)， f(1)22f(1)，即f(1)2， f(x)2x4，f(0)4. 思维升华 1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数举行化简，然后求导，尽量制止不必要的商的求导法那么，这样可以裁减运算量，提高运算速度裁减过错 (2)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导 题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程 2x1例1 (1)已知函数f(x1)，那么曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为( ) x1A1 B1 C2 D2 x x 答案 A 2x12x11 解析 由f(x1)，知f(x)2. xxx11 f(x)2，f(1)1. x 由导数的几何意义知，所求切线的斜率k1. (2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，那么直线l的方程为 答案 xy10 解析 点(0，1)不在曲线f(x)xln x上， 设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x， 直线l的方程为y1(1ln x0)x. ?y0x0ln x0，由?解得x01，y00. ?y1?1ln x?x，?000 直线l的方程为yx1，即xy10. 命题点2 求参数的值 例2 (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，那么2ab . 答案 1 解析 由题意知，yx3axb的导数为y3x2a， 1ab3，?2 那么?31ak，?k13， 3 由此解得k2，a1，b3，2ab1. 17 (2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切 22点为(1，f(1)，那么m . 答案 2 1 解析 f(x)，直线l的斜率kf(1)1. x又f(1)0，切线l的方程为yx1. g(x)xm， 设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 17 那么有x0m1，y0x01，y0x20mx0，m0， 22m2. 命题点3 导数与函数图象 例3 (1)已知函数yf(x)的图象是以下四个图象之一，且其导函数yf(x)的图象如下图，那么该 9