本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年（全国I卷）理数试题及答案详解 2022年普遍高等学校招生全国统一考试 理科数学 留神事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦明净后，再选涂其它答案标号。回复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只 有一项为哪一项符合题目要求的。 1设z?1?i?2i，那么|z|? 1?iB A0 1 2C1 D2 2已知集合A?x|x2?x?2?0，那么eRA? Ax|?1?x?2 Cx|x?1Ux|x?2 Bx|?1x2 Dx|x?1x|x2 3某地区经过一年的新农村创办，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番. 为更好地了解该地区农村的经济收入变化处境，统计了该地区新农村创办前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 那么下面结论中不正确的是 A新农村创办后，种植收入裁减 B新农村创办后，其他收入增加了一倍以上 C新农村创办后，养殖收入增加了一倍 D新农村创办后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题 第1页（共9页） 4记Sn为等差数列an的前n项和. 若3S3?S2?S4，a1=2，那么a5= A?12 切线方程为 Ay?2x By?x Cy?2x Dy?x uur6在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么EB? ur1uuurur3uuur3uu1uuAAB?AC BAB?AC 4444ur1uuurur3uuur3uu1uuCAB?AC DAB?AC 4444B?10 C10 D12 5设函数f(x)?x3?(a?1)x2?ax. 若f(x)为奇函数，那么曲线y?f(x)在点(0,0)处的 7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱外观上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表 面上的点N在左视图上的对应点为B，那么在此圆柱侧 面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A217 C3 B25 D2 8设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点(-2,0)且斜率为uuuruuur两点，那么FM?FN2的直线与C交于M，N3D8 B6 C7 A5 ?ex,x0,9已知函数f(x)? g(x)?f(x)?x?a. 若g(x)存在2个零点，那么a的 lnx,x?0,?取值范围是 A?1,0) B0,?) C?1,?) D1,?) 10下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，ACABC的三边所围成的区域记为，黑色片面记为，其余片面记为. 在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，那么 Ap1?p2 Bp1?p3 Cp2?p3 Dp1?p2?p3 理科数学试题 第2页（共9页） x211已知双曲线C：-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的 3两条渐近线的交点分别为M，N. 若OMN为直角三角形，那么|MN|= A 3 2B3 C23 D4 12已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，那么?截此正方 体所得截面面积的最大值为 A 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。 ?x?2y?20,?13若x，y得志约束条件?x?y?10, 那么z?3x?2y的最大值为 . ?y0,?33 4B23 3C32 4D3 214记Sn为数列an的前n项和. 若Sn?2an?1，那么S6? . 15从2位女生，4位男生中选3人加入科技比赛，且至少有1位女生入选，那么不同的 选法共有 种.（用数字填写答案） 16已知函数f(x)?2sinx?sin2x，那么f(x)的最小值是 . 三、解答题：共70分。解允许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必 考题，每个试题考生都务必作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17（12分） 在平面四边形ABCD中，?ADC?90?，?A?45?，AB?2，BD?5. （1）求cos?ADB； （2）若DC?22，求BC. 18（12分） 如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF. （1）证明：平面PEF?平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 理科数学试题 第3页（共9页） 19（12分） x2设椭圆C：?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的 2坐标为(2,0). （1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA?OMB. 20（12分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，那么更换为合格品. 检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结坚决定是否对余下的全体产品作检验. 设每件产品为不合格品的概率都为p(0?p?1)，且各件产品是否为不合格品相互独立. （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0. （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值. 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，那么工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. （）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX； （）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的全体产品作检验？ 21（12分） 1已知函数f(x)?x?alnx. x（1）议论f(x)的单调性； （2）若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明： f(x1)?f(x2)?a?2. x1?x2 （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假设多做，那么按所做 的第一题计分。 22选修44：坐标系与参数方程（10分） 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2. 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos?3?0. （1）求C2的直角坐标方程； （2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 23选修45：不等式选讲（10分） 已知f(x)?|x?1|?|ax?1|. （1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集； （2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围. 理科数学试题 第4页（共9页） 2022年普遍高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1C 7B 二、填空题 136 三、解答题 17解： （1）在ABD中，由正弦定理得由题设知， 14?63 1516 16?33 2 2B 8D 3A 9C 4B 10A 5D 11B 6A 12A BDAB. ?sin?Asin?ADB 252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB由题设知，?ADB?90?， 所以cos?ADB?1?223?. 2552. 5（2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?在BCD中，由余弦定理得 BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22?25.25 所以BC?5. 18解： （1）由已知可得，BF?PF，BF?EF，所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF?平面ABFD. 理科数学试题 第5页（共9页） 9