2020福建考研数学三真题及答案一、选择题：18 小题,每小题 4 分,共 32 分下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的(1) 设lim f (x) - a = b，则lim sin f (x) - sin a = ()xax - axax - a(A). b sin a(B). b cos a(C). b sin f (a)(D). b cos f (a)【答案】B【解析】lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a f (x) - a = cos f (x) b = b cos f (a)xax - axaf (x) - ax - ax=a 设 f (x) = u ，则lim sin f (x) - sin a = limsin u - sin a = cos u= cos f (a)xaf (x) - au f (a)u - au = f (a)lim sin f (x) - sin a = lim sin f (x) - sin a f (x) - a = lim sin f (x) - sin a lim f (x) - a 则 xax - axaf (x) - ax - axa=b cos af (x) - axax - a(2) 函数 f (x) =(A).1(B).2(C).31ex-1 ln 1+ x(ex -1)(x - 2)，则第二类间断点个数为（ ）(D).4【答案】C【解析】本题考查的是第一类间断点与第二类间断点的定义，判断间断点及类型的一 般步骤为：1. 找出无定义的点（无意义的点）；2.求该点的左右极限；3.按照间断点的定义判 定。第二类间断点的定义为 f- (x0 ), f+ (x0 ) 至少有一个不存在，很显然 f (x) 不存在的点为x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 。在 x = -1 处， limx-1-f (x) = -, limx-1+f (x) = - ；在 x = 0 处，limx0-f (x) = limx0+f (x)= - 1 ；2e1在 x = 1 处， lim ex-1 = 01， lim ex-1 = + ， lim f (x) = 0 ， lim f (x) = - ；x1-在 x = 2 处， limx2-x1+f (x) = - ， limx2+x1-f (x) = + ；x1+所以，第二类间断点为 3 个。(3) 对奇函数 f (x) 在(-, + ) 上有连续导数，则()(A). cos f (t) + f (t)dt 是奇函数x0(B). cos f (t) + f (t)dt 是偶函数x0(C). x cos f (t) + f (t)dt 是奇函数00(D). x cos f (t) + f (t)dt 是偶函数【答案】：A【 解析】 f (x)为奇函数， 则其导数 f (x)为偶函数，又 cos x 为偶函数，则 cos f (x) = cos f (-x)，则cos f (x) 为偶函数，故cos f (x) + f (x)为偶函数，以 0 为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函数。所以，本题选 A ;对于C和D 选项， f (x) 为偶函数，则cos f (x) = cos f (-x) 为偶函数， f (x) 为奇函数，则cos f (x) + f (x)既非奇函数又非偶函数。(4).已知幂级数 na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ，则 a (x + 1)2n 的收敛区间为nn=1nn=1(A).(-2,6)(B).(-3,1)(C).(-5,3)(D).(-17,15)【答案】Ba(x + 1)2n+ 2a【解析】由比值法可知，幂级数收敛时， lim n+1= lim n+1 (x + 1)2 1na (x + 1)2nn a则要求 a (x + 2)2n 的收敛区间，只需要求出limnnan+1 an的值即可，nn=1nn而条件告诉我们幂级数 na (x - 2)n 的收敛区间为(-2, 6) ，即收敛半径为 4limn= lim(n + 1)an+1 nannn=1n + 1 an+1 nanan+1 an= lim= 1n4an+1 an则lim(x + 1)2n = 1 (x + 1)2 1 ，即-3 x 1n4所以本题选B 。(5) 设 4 阶矩阵 A = (aij ) 不可逆，a12 的代数余子式 A12 0 ，1 , 2 , 3 , 4 为矩阵 A 的列向量组，A* 为 A 的伴随矩阵，则 A* x = 0 的通解为（）（A） x = k11 + k22 + k33（C） x = k11 + k23 + k34（B） x = k11 + k22 + k34（D） x = k12 + k23 + k34【答案】（C）【解析】 A = (a ) 不可逆知， A = 0 及r( A) 4 ；由 A 0 知 A* O 且 , , 线性无关（无ij12134关组的延长组仍无关），故r( A) = 3 及r( A* ) = 1 ，故 A* x = 0 的基础解系含有 3 个向量。由A* A =A E = O 知， A 的列向量均为 A* x = 0 的解，故通解为 x = k + k + k 。1 12 33 4(6) 设 A 为 3 阶矩阵，1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，3 为 A 的特 100 征值-1的特征向量。若存在可逆矩阵 P ，使得 P -1 AP = 0-10 ，则 P 可为（）（A） (1 + 3 , 2 , -3 )（C） (1 + 3 , -3 , 2 ) 001 （B） (1 + 2 , 2 , -3 )（D） (1 + 2 , -3 , 2 )【答案】（D）【解析】因为1, 2 为 A 的特征值1对应的两个线性无关的特征向量，故1 + 2 , 2 仍为特征值1的两个线性无关的特征向量；因为3 为 A 的特征值-1的特征向量，故-3 仍为特征值-1的特征向量，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需 P = (1 + 2 , -3 , 2 ) ， 100 就有 P -1 AP = 0-10 。(7) 001 P(A) = P(B) = P(C ) = 1 , P(AB) = 0, P(AC ) = P(BC ) = 1412，则 A, B, C 恰好发生一个的概率为（）(A). 34(B). 23(C) . 12(D). 512【答案】（D）【解析】P( ABC) + P( ABC) + P( ABC)= P( A IB UC) + P(B IA UC) + P(C IA U B)= P( A) - P( AB) - P( AC) + P( ABC) + P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC)+ P(C) - P( AC) - P(BC) + P( ABC)又 ABC AB ， P( ABC) P( AB) = 0原式 = 1 - 1412+ 1 - 1412+ 1 - 1 - 1 = 54121212(8) .若二维随机变量(X ,Y ) 服从- 1 ，则下列服从标准正态分布且与 X 独立的N 0,0;1,4;2是（）(A).(B).(C).(D).5 ( X + Y )55 ( X - Y )53 ( X + Y )33 ( X - Y )3【答案】（C）【解析】由二维正态分布可知 X N (0,1) ，Y N (0,4) ， r XY= - 12DXDYD( X + Y ) = DX + DY + 2r XY= 3 ，所以 X + Y N (0,3) ，3 (X + Y ) N (0,1)3DXDY又cov(X , X + Y ) = cov(X , X ) + cov(X ,Y ) = DX + r XY= 0所以 X 与3 (X + Y )独立3二、填空题：914 小题,每小题 4 分,共 24 分(0,)(9) z = arctan ( xy + sin(x + y) ，则dz= .(0,)【答案】dz= ( -1)dx - dy【解 析】 dz =dxy + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2, dz =dyx + cos(x + y)1+ ( xy + sin(x + y)2，将 x = 0, y = 带入 可知 ，(0,)dz= ( -1)dx - dy(10) 已知曲线满足 x + y + e2 xy = 0 ，求曲线在点(0, -1) 处的切线方程【答案】 y = x -1【解析】在 x + y + e2 xy = 0 两侧同时对 x 求导有1+ dy +e2 xy (2 y + 2x dy ) = 0 ，将 x = 0, y = -1 带入dxdx可知dy = 1，所以切线方程为 y = x -1 dx(11) 设产量为Q ，单价为 P ,厂商成本函数为C(Q) = 100 +13Q ，需求函数为Q(P) =求厂商取得最大利润时的产量