u我国古代数学的成就我国古代数学的成就灿烂辉煌，煌，早在公元前一世早在公元前一世纪问世的我国世的我国经典数学著作典数学著作九章算九章算术里，就里，就在世界数学史上第一次介在世界数学史上第一次介绍了笔了笔算开平方法据史料算开平方法据史料记载，国外，国外直到公元五世直到公元五世纪才有才有对于开平方于开平方法的介法的介绍这表明，古代表明，古代对于开于开方的研究我国在世界上是遥遥方的研究我国在世界上是遥遥领先的先的u后流后流传下来的笔算开平方是由三国下来的笔算开平方是由三国时期刘徽作注期刘徽作注的本子（公元的本子（公元263年），他在年），他在“注注”里提到在平里提到在平方数的情况下求近似方数的情况下求近似值的两个算法：的两个算法： （1）“不加借算不加借算”：用：用现代符号表述就是代符号表述就是 （2）“加借算加借算”：用：用现代符号表述就是代符号表述就是 并指出并指出 在在这两个近似两个近似值之之间。u我我们可以自己用可以自己用这两个近似公式两个近似公式计算；算； 用用电子子计算器算得算器算得n求一个数求一个数a的的平方根平方根的运算，的运算，叫做开平方（叫做开平方（extraction of square root),其中其中a叫做叫做被开方数被开方数。注：在注：在实数范数范围内内a必必须大于或等于零，大于或等于零，即即a为非非负数数直接开平方直接开平方:利用平方根的定利用平方根的定义直接开平方求直接开平方求一元二次方程的解的方法一元二次方程的解的方法配方法配方法 :利用完全平方式利用完全平方式,通通过移移项、配方、配方、变形、开方求一元二次方程的解的方法形、开方求一元二次方程的解的方法求根公式法求根公式法:利用利用 求一元二次求一元二次方程的解的方法方程的解的方法 因式分解法：因式分解法： 十字相乘法：十字相乘法：还有提公因式法、待定系数法等求一元二次方程的解的方法开平方原理讲解开平方原理讲解u我我们知道任何一个个位数的平方不会超知道任何一个个位数的平方不会超过两位两位如如注：注：任何一个数如果要开平方，任何一个数如果要开平方，则必必须对其位，以小其位，以小树点点为界，向左、向右两位界，向左、向右两位两位的分。两位的分。开平方依据公式开平方依据公式u我我们知道完全平方公式：知道完全平方公式：u将其将其变形会有：形会有：任何完全平方数都可以用上述公式表示！任何完全平方数都可以用上述公式表示！ 完全平方数演示完全平方数演示u演示数据一：演示数据一：u演示数据二：演示数据二： No.1笔算开平方笔算开平方1.将被开发数的整将被开发数的整数部分从个位起数部分从个位起向左每隔两位划向左每隔两位划为一段，用为一段，用 分分开，分成几段，开，分成几段，表示所求平方根表示所求平方根是几位数；小数是几位数；小数部分从最高位向部分从最高位向后两位一段隔开，后两位一段隔开，用用“,”分开分开,分分成几段，表示所成几段，表示所求平方根是几位求平方根是几位数数.u以以九九章章算算术术中中求求55225的的开开方方为为例，例，图图解解说说明明. 2.根据左边第一根据左边第一段里的数，求段里的数，求得平方根的最得平方根的最高位的数。高位的数。（在右边例题（在右边例题中，比中，比5小得平小得平方数是方数是4，所以，所以平方根的最高平方根的最高位为位为2）3.从第一段的数从第一段的数减去最高位上减去最高位上数的平方，在数的平方，在它们的差的右它们的差的右边写上第二段边写上第二段数组成第一个数组成第一个余数余数4.把求得的最高位的数把求得的最高位的数乘以乘以20去试除第一去试除第一个余数，所得的最个余数，所得的最大整数作为试商。大整数作为试商。（例中的试商为（例中的试商为 5.用商的最高位数的用商的最高位数的20倍加上这倍加上这个试商再乘以试商。如果所个试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，试得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就如果所得的积大于余数，就把试商减小再试，得到的第把试商减小再试，得到的第一个小于余数的试商作为平一个小于余数的试商作为平方根的第二位。（即方根的第二位。（即3为平方为平方根的第二位）根的第二位）u6.用同样的方法，用同样的方法，继续求平方根的其继续求平方根的其他各位上的数。用他各位上的数。用上一个余数减去上上一个余数减去上一步中所求的积一步中所求的积（即（即152-129=23）与第三段数组成新与第三段数组成新的余数（的余数（2325），），这时再求试商，要这时再求试商，要用前面所得到的平用前面所得到的平方根的前两位数方根的前两位数（即（即23）乘以）乘以20去去试除新的余数，所试除新的余数，所得的最大整数为新得的最大整数为新的试商（的试商（的整数部分为的整数部分为5）u7.对新试商的检验对新试商的检验如前法。（右例中如前法。（右例中最后的余数为最后的余数为0，刚，刚好开尽，则好开尽，则235为所为所求的平方根）求的平方根） u 如遇开不尽的情况，如遇开不尽的情况，可根据所要求的精可根据所要求的精确度求出它的近似确度求出它的近似值。在九章算术值。在九章算术里就已经介绍了里就已经介绍了上述笔算开平方法上述笔算开平方法上述平方根的求法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的平方根.No.2开平方公式开平方公式u例例 A=5；(5介于介于2的平方至的平方至3的平方之的平方之间，我我们去初始去初始值2.1，2.2，2.3,2.4,2.5, 2.6,2.7,2.8,2.9都可以，我都可以，我们最好取中最好取中间值2.5)u第一步第一步:2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2 ;即即5/2.5=2, 2-2.5=-0.5，-0.51/2=-0.25 ，2.5+（-0.25）=2.25，取，取2位数位数2.2u第二步：第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23 ；即；即5/2.2=2.272727 ，2.27272-2.2=-0.07272，-0.0727271/2=-0.036363，2.2+0.03636=2.23.取取3位数位数2.23u第三步：第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236 ；即；即 5/2.23=2.242，2.242-2.23=0.012, 0.0121/2=0.006，2.23+0.006=2.236，取，取4位数位数u每一步多取一位数。每一步多取一位数。这个方法又叫个方法又叫反反馈开开方方，即使你，即使你输入一个入一个错误的数的数值，也没有，也没有关系，关系，输出出值会自会自动调节，接近准确，接近准确值。开开m次方公式：次方公式：67 6整数开平方整数开平方例例1：解：解：242 7 64 662 7 6026846例例2：解：解：244 4 64 994 4 15291818158 1185 8110纯小数开平方纯小数开平方例例3：解：解：0.680.460.3610 2412 8610 244820例例4：解：解：0.0270.000.43 294 703 292920707混小数开平方混小数开平方例例5：解：解：1.081.161.116 6420164860864例例6：解：解：13.31 76.89117623 373968926 307 890近似平方根近似平方根例例7：解：解：1.4142.001.11 0024901046400004 12 8 12 811 19 002 82 441 21 966 04例例8：解：解：10.33.91 30622000246000006 4 05 7 623 1993.21（精确到0.001）（精确到0.01）190081002 82 8 225 638 3645 6口诀不退位减法 退位减法直接的减破五的减退十的减退十补五的减 几离几几靠几离几几退一靠几几退一靠五离几123456789一离一二离二三离三四离四五离五六离六七里七八里八九离九一靠四离五二靠三离五三靠二离五四靠一离五一退一靠九二退一靠八三退一靠七四退一靠六五退一靠五六退一靠四七退一靠三八退一靠二九退一靠一六退一靠五离一七退一靠五离二八退一靠五离三九退一靠五离四 把传统口诀稍加变化后，解决了上与下似相反而实同 上与去似相同而实相反、遇与还似相同而实异的矛盾 使口决的含义更加明确容易理解 容易接受，容易记忆，容易教学。No.3 珠算式心算开平方方法珠算式心算开平方方法1.分分节 开方先分开方先分节， 二位二位为一一节， 整数右向左，整数右向左， 小数左向右。小数左向右。2.置数置数u被开方数首被开方数首节(满节：指首：指首节有二位数字有二位数字)的从算的从算盘左左边第三第三挡(空二档空二档)起置数起置数j首首节不不满节(不不满节：指首：指首节只有一位数字只有一位数字)的从算的从算盘左左边第四档第四档(空三档空三档)起置数。起置数。u其要其要领简记为： 满节空二档；空二档； 不不满空三档。空三档。3.取根取根u被开方数分被开方数分为几个几个节，就有几位根，就有几位根 其要其要领简记为： 按按节来取根，初根直接商；来取根，初根直接商； 试取次根取次根时，初根，初根扩2O倍，倍， 加上加上试商数，得商数，得积乘乘试商，商， 试后来把次根定，初根后来把次根定，初根扩2O乘次根，乘次根， 加上次根自身加上次根自身录，一并来把，一并来把积减去；减去； 不不够商商1添个添个 “0” ，后，后节合并一起开；合并一起开； 一一节一一节移下来，前根移下来，前根视作作韧根看；根看； 若遇有余数，若遇有余数，补 0”凑凑满节i 小数开方小数开方时，看作整数开。，看作整数开。 少商少商补上上1减去初根减去初根扩2O倍，再加新商和原商。倍，再加新商和原商。 多商退多商退还1，加上初根，加上初根扩2O倍，再加新商和原商倍，再加新商和原商