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本文格式为Word版,下载可任意编辑解排列组合应用问题的十种思考方法 错误!未找到引用源。“解排列、组合应用问题” 的思维方法 一、优先考虑: 对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列, 通常是先排特殊元素或特殊位置,再考虑其它的元素或其它的位置。 例1(1)由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。 (2) 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 个。 (3) 5个人排成一排,其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。 二、“捆”在一起:有要求元素相邻(即连排)的排列问题,可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列,然后“整体”内部再举行排列。 例2(1) 有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师务必在一起的排法共有 种。 (2) 有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有 种。 三、插空档:有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题,可以制造空档插空。 例3(1)五种不同的收音机和四种不同的电视机罗列一排,任两台电视机不靠在一起, 有 种罗列方法。 (2)6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有 种。 四、减去特殊处境(即逆向斟酌):先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数,然后再 从中减去全体不符合条件的排列或组合数。 例4(1)以正方体的顶点为顶点的周围体共有 个。 (2) 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。 (3)集合A有8个元素,集合B有7个元素,A?B有4个元素,集合C有3个元素且得志以下条件:C?A?B,C?A?,C?B?的集合C有几个。 第1页 (4)从6名短跑运鼓动中选4人加入4?100米的接力赛,假设其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种参赛方案? 五、先组后排:排列、组合综合题,通常都是先考虑组合后考虑排列。 例5(1)用1、2、3、?9这九个数字,能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。 (2)有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,其它每人一本,那么共有 种不同的奖法。 (3)有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有 种调配方法。 六、除以排列数:对某些元素有依次限制的排列,可以先不考虑依次限制排列后,再除去规 定依次元素个数的全排列。 例6(1)有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师依次固定不变, 那么不同的排法有 种。 (2)由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字,十位 数字小于百位数字,那么这样的数共有 个。 (3)书架上放有5本书(15册),现在要再插入3本书,保持原有的相对依次不变,有 种放法。 七、对象互调:有些排列或组合题直接就题论题很难入手,但换个角度去考虑便顺遂求得结 果又易理解。 例7(1)一部电影在四个单位轮放,每单位放映一场,可以有 种放映次序。 (2)一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有 种。 第2页 (3)有6个座位3人去坐,要求恰好有两个空位相连的不同坐法有 种。 八、分处境研究:分处境研究(即分类计算)繁杂的排列、组合综合题,往往通过画简图、按元素的性质“分类”;按事情发生的连续过程“分步”等方法。分处境研究求得结果,尤其对含数字“0”的排列,常分“有0”及“无0”两种处境研究,在“有0”时,排列的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。 例8(1)从编号为了1、2、3 ? 9的九个球中任取4个球,使它们的编号之和为奇数, 再把这四个球排成一排,共有多少种不同的排法? (2)用0、1、2、3?9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数 有多少个? (3)用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中,若按从小到大的依次排列23140 是第几个数? 排 列 与 组 合 (斟酌方法18训练) 一优先考虑 1现有6名同学站成一排: (1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法? (2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法? 2用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的5位数,共可以组成多少个? 二插空 3有6名同学站成一排:甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法? 4有4男4女排成一排,要求(1)女的互不相邻有 种排法;(2)男女相间有 种排法。 三捆在一起 5由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3务必排在一起,4、5不能排在一起, 那么不同的5位数共有_个。 6有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有 种。 四逆向斟酌 第3页 7某小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选时的不同选法有 16种,那么小组中的女生数为_。 86名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法? 五先组后排 9有4名学生加入3相不同的小组活动,每组至少一人,有 种加入方式。 10从两个集合?1,2,3,4?和?5,6,7?中各取两个元素组成一个四位数,可组成 个数。 六除以排列数 11书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有的相对依次不变,有 种放法。 129人(个子长短不同)排队照相,要求中间的最高,两旁依次从高到矮共有种 排法。 七对象互调: 13某人射击8枪命中4枪,这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是 。 14三个人坐在一排7个座位上, (1)若3个人中间没有空位,有 种坐法。 (2)若4个空位中恰有3个空位连在一起,有 种坐法。 八分处境(即分类) 15用0,1,2,3,4组成无重复数字的5位数,若按从小到大的依次排列,那么数12340是第_个数。 16某车间有8名会车工或钳工的工人,其中6人会车工,5人会钳工,现从这些工人中选出 2人分别干车工和钳工,问不同的选法有多少种? 九和、整除、倍数、约数问题。 例9和:(1)用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?这些三位数的和是多少? 整除:(2)用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数,其中 、能被5整除的数有多少个? 、能被3整除的数有多少个? 、能被6整除的数有多少个? 第4页 倍数:(3)在1、2、3 ? 100这100个自然数中,每次取不等的两数相乘,使它们的积是7的倍数,这样的取法共有多少种?(取7,11与取11,7认为是同一种取法) (4)在1、2、3 ? 30这三十个数中,每取两两不等的三个数,使它们的和是3的倍数,共有多少种不同的取法? 约数:(5)数2160共有多少个正约数(包括1和本身在内)?其中共有多少个正的偶约数? 十、调配、分组问题:解题时要留神“平匀”与“非平匀”的识别、调配与分组(分堆)的识别。 例10(1)将12本不同的书 、分给甲、乙、丙三人,每人各得4本有 种分法。 、平均分成三堆,有 种分法。 (2)7本不同的书 、全片面给6个人,每人至少一本,共有 种不同的分法。 、全片面给5个人,每人至少一本,共有 种不同的分法。 (3)六本不同的书,分给甲、乙、丙三人,若按以下调配方法,问各有多少种分法? a、甲一本、乙二本、丙三本;有 种分法。 b、一人一本、一人二本、一人三本;有 种分法。 c、甲一本、乙一本、丙四本;有 种分法。 d、一人一本、一人一本、一人四本;有 种分法。 排 列 与 组 合 (斟酌方法全训练) 一 八 : 15名男生和2名女生站成一列,男生甲务必站在正中间,2名女生务必站在甲前面,不同 的站法共有 种(用数字作答)。 第5页 9
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