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本文格式为Word版,下载可任意编辑高等数学 线性代数 习题答案第二章 其次章 习题2-1 1. 证明:若limxn=a,那么对任何自然数k,有limxn+k=a. n?n?证:由limxn?a,知?0,?N1,当n?N1时,有 n?xn?a? 取N?N1?k,有?0,?N,设n?N时(此时n?k?N1)有 xn?k?a? 由数列极限的定义得 limxn?k?a. x?2. 证明:若limxn=a,那么limxn=|a|.考察数列xn=(-1)n,说明上述结论反之不成立. n?n?证: ?limxn?ax?0,?N,使当n?N时,有xn?a?.而 xn?a?xn?a 于是?0,?N,使当n?N时,有 xn?a?xn?a? 即 xn?a? 由数列极限的定义得 limxn?a n?n考察数列 xn?(?1),知limxn不存在,而xn?1,limxn?1, n?n?所以前面所证结论反之不成立。 3. 证明:limxn =0的充要条件是limxn=0. n?n?证:必要性由2题已证,下面证明充分性。即证若limxn?0,那么limxn?0, n?n?由limxn?0知,?0,?N,设当n?N时,有 n?xn?0? 即xn? 即xn?0? 由数列极限的定义可得 limxn?0 n?4. 利用夹逼定理证明: 1 ?(1) lim?2?=0; (2) lim=0. 22?n?n?(2n)?n!?n(n?1)证:(1)由于 ?111?21111n?1n?n?n2n2(n?1)2(2n2)n2n2 2n而且 lim12?0lim?0, , n?n2n?n所以由夹逼定理,得 ?111?lim?2?0. 22?n?n(n?1)(2n)?42n222224?,而且lim?0, (2)由于0?n?nn!123n?1nn所以,由夹逼定理得 2nlim?0 n?n!5. 利用单调有界数列收敛准那么证明以下数列的极限存在. (1) x10,xn+1= 13(xn?),n=1,2,; 2xn(2) x1=2,xn+12xn,n=1,2,; (3) 设xn单调递增,yn单调递减,且lim (xn-yn)=0,证明xn和yn的极限均存在. n?证:(1)由x1?0及xn?13 (xn?)知,有xn?0(n?1,2,?)即数列?xn?有下界。 2xn又?xn?1?1313(xn?)?2xn?3 (n?1,2,?) 2xn2xn21313?xn?xn?1?xn?(?xn)?0 即xn?1?xn 2xn2xn所以?xn?为单调递减有下界的数列,故?xn?有极限。 (2)由于x1?2?2,不妨设xk?2,那么 xk?1?2xk?2?2?2 故有对于任意正整数n,有xn?2,即数列?xn?有上界, 2 又 xn?1?xn?xn(2?xn),而xn?0,xn?2, 所以 xn?1?xn?0 即 xn?1?xn, 即数列是单调递增数列。 综上所述,数列?xn?是单调递增有上界的数列,故其极限存在。 (3)由数列?xn?单调递增,?yn?单调递减得xn?x1,yn?y1。 又由lim(xn?yn)?0知数列?xn?yn?有界,于是存在M 0,使xn?yn?M, n?由xn?yn?M及yn?1得,xn?yn?M?y1?M, 由xn?yn?M及xn?x1得,yn?xn?M?x1?M, 于是,数列?xn?是单调递增有上界的数列,?yn?是单调递减有下界的数列,所以它们的极限均存在。 习题2-2 1. 证明:limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. x?x0f(x)?limf(x)?a,那么limf(x)?a. 证:先证充分性:即证若lim?x?x0x?x0x?x0f(x)?a及limf(x)?a知: 由lim?x?x0x?x0 ?0,?1?0,当0?x0?x?1时,有f(x)?a?, ?2?0当0?x?x0?2时,有f(x)?a?。 取?min?1,?2?,那么当0?x0?x?或0?x?x0?时,有f(x)?a?, 而0?x0?x?或0?x?x0?就是0?x?x0?, 于是?0,?0,当0?x?x0?时,有f(x)?a?, 所以 limf(x)?a. x?x0f(x)?limf(x)?a, 再证必要性:即若limf(x)?a,那么lim?x?x0x?x0x?x0由limf(x)?a知,?0,?0,当0?x?x0?时,有f(x)?a?, x?x0由0?x?x0?就是 0?x0?x?或0?x?x0?,于是?0,?0,当 3 0?x0?x?或0?x?x0?时,有f(x)?a?. f(x)?limf(x)?a 所以 lim?x?x0x?x0 综上所述,limf(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a. x?x02. 证明:若limf(x)=a,那么limf(x)=|a|.并举例说明该命题之逆命题不真. x?x0x?x0证: ? limf(x)=a x?x0 ?0,?0,当0?x?x0?时, (f?)x , af(x)?a?,而 f(x?)a?于是?0,?0,当0?x?x0?时,有 f(x)?a?f(x)?a? 由函数极限的定义知limf(x)?a。 x?x0例 f(x)?sinx,limsinx?1,而limsinx?1 x?32x?32故逆命题不真。 e; 3. (1) 利用极限的几何意义确定lim (x+a),和lim? x?0x?0 2 1x1?x(2) 设f(x)= ?e, x?0,,问常数a为何值时,limf(x)存在. x?02?x?a,x?0,?2解:(1)由于x无限接近于0时,x?a的值无限接近于a,故lim(x?a)?a. x?02e?0. 当x从小于0的方向无限接近于0时,e的值无限接近于0,故lim?x?01x1xf(x)?lim?f(x), (2)若limf(x)存在,那么lim?x?0x?0x?0f(x)?lim(x?a)?lim(x?a)?a, 由(1)知 lim?x?0x?0x?022f(x)?lime?0 lim?x?0x?01x所以,当a?0时,limf(x)存在。 x?04. 利用极限的几何意义说明limsinx不存在. x?解:由于当x?时,sinx的值在-1与1之间来回振摇摆,即sinx不无限接近某确定直线y?A,亦即y?f(x)不以直线y?A为渐近线,所以limsinx不存在。 x? 4 习题2-3 1. 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不确定是无穷小量,也不确定是无穷大量. 解:例1:当x?0时,tanx,sinx都是无穷小量,但由 sinx?cosx(当x?0时,tanxcosx?1)不是无穷大量,也不是无穷小量。 例2:当x?时,2x与x都是无穷大量,但小量。 2x?2不是无穷大量,也不是无穷xcotx?1不 例3:当x?0时,tanx是无穷小量,而cotx是无穷大量,但tanx?是无穷大量,也不是无穷小量。 2. 判断以下命题是否正确: (1) 无穷小量与无穷小量的商确定是无穷小量; (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量; (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量; (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量; (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量; (6) y=xsinx在(-,+)内无界,但limxsinx; x?(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量; (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解:(1)错误,如第1题例1; (2)正确,见教材2.3定理3; cotx为无穷大量,sinx是有界函数,cotx?sinx?cosx (3)错误,例当x?0时, 不是无穷大量; (4)正确,见教材2.3定理2; (5)错误,例如当x?0时,与?是无穷大量; (6)正确,由于?M?0,?正整数k,使2k+1x111都是无穷大量,但它们之和?(?)?0不xxx?M,从而2f(2k+)?(2k+)sin(2k+)?2k+?M,即y?xsinx在(?,?)内无界, 2222又?M?0,无论X多么大,总存在正整数k,使kX,使f(2k)?ksin(k)?0?M,即x?时,xsinx不无限增大,即limxsinx?; x?(7)正确,见教材2.3定理5; (8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量,但其倒数无意义。 3. 指出以下函数哪些是该极限过程中的无穷小量,哪些是该极限过程中的无穷大量. 5 7
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