本文格式为Word版，下载可任意编辑高考冲刺 函数与方程的思想 高考冲刺 函数与方程的思想 【高考展望】 纵观近几年的高考试题，函数的主干学识、学识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的测验，一向是高考的重点内容之一。在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有生动多变的客观性试题，又有确定才能要求的主观性试题。函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重对比大，综合学识多、题型多、应用技巧多。在高中新课标数学中，还安置了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。 在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次： （1）解方程； （2）含参数方程议论； （3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系； （4）构造方程求解。 高考函数与方程思想的命题主要表达在三个方面：是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题在构建函数模型时依旧特别提防“三个二次”的测验更加留神客观形题目，大题一般难度略大。 【学识升华】 函数与方程（不等式）的思想贯穿于高中学习的各个内容，求值的问题就要涉及到方程，求取值范围的问题就离不开不等式，但方程、不等式更离不开函数，函数与方程（不等式）思想的运用使我们解决问题的重要手段。 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通过方程举行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及议论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为议论函数的有关性质，达成化难为易，化繁为简的目的。大量有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，大量函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的根本思想，也是历年高考的重点。 1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质熟悉，用于指导解题就是擅长利用函数学识或函数观点查看、分析和解决问题； 第1页 共17页 2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质熟悉，用于指导解题就是擅长利用方程或方程组的观点查看处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系； 3函数的思想与方程的思想的关系 在中学数学中，好多函数的问题需要用方程的学识和方法来支持，好多方程的问题需要用函数的学识和方法去解决对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数yf(x)看作二元方程yf(x)0，函数与方程可相互转化。 4函数方程思想的几种重要形式 （1）函数和方程是紧密相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点； （2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式； （3）数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题特别重要； （4）函数f(x)(ax?b)n（nN）与二项式定理是紧密相关的，利用这个函数用赋值法和对比系数 * 法可以解决好多二项式定理的问题； （5）解析几何中的大量问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论； （6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。 【典型例题】 类型一、函数思想在方程中应用 22【例1】设方程x?ax?b?2?0(a，b?R)在(?，?2)?2，?)上有实根，求a?b的 22取值范围。 【思路点拨】此题若直接由条件启程，利用实根分布条件求出a，b得志的条件，视a?b为区域内点与原点距离的平方，以此数形结合，亦可获解，但过程繁琐。考虑到变量a，b是主变量，反客为主，视方程x?ax?b?2?0为aob坐标平面上的一条直线l：xa?b?x?2?0，P（a，b）为直线上的点，那么a?b即为|PO|。 2 2222222【解析】设d为点O到直线l的距离， 第2页 共17页 9(x2?1?3)22?(x?1)?6， 由几何条件知：|PO|?d?()?222x?1x?1x?1222|x2?2| 由于x?(?，?2)?2，?)，令t?x?1，那么t?5，?)。 且易知函数t?229在5，?)上为增函数。 t2 所以|PO|?(x?1)?9994422?6?t?6?5?6?a?b?。即。 2t555x?1【总结升华】解法一通过简朴转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b是a、c的函数，运用重要不等式，思路明显，水到渠成。 举一反三： 【变式1】（1）已知 22 5b?c，那么有（ ） ?1（a、b、cR） 5a222(A) b?4ac (B) b?4ac (C) b?4ac (D) b?4ac 【解析】法一：依题设有 a5b5c0， 5是实系数一元二次方程ax?bx?c?0的一个实根；b?4ac0 b?4ac 应选(B)； 法二：去分母，移项，两边平方得： 2225b2?25a2?10ac?c210ac25ac20ac，b2?4ac 应选(B) 【例2】若关于x的方程cos2x2cosxm0有实数根，那么实数m的取值范围是_ 【思路点拨】将方程变形为mcos2x2cosx，那么当方程有实数根时，cos2x2cosx的取值范围就是m的取值范围 【解析】原方程可化为mcos2x2cosx. 令f(x)cos2x2cosx， 那么f(x)2cos2x12cosx 2(cosx?)由于1cosx1， 所以当cosx 1223， 213时，f(x)取得最大值， 2232当cosx1时，f(x)取得最小值3， 故函数f(x)的值域为?3?， 即m?3?. 【总结升华】此题若令cosxt，那么可通过换元法将原方程化为关于t的一元二次方程，但求解过程 32第3页 共17页 将分外繁琐，而通过分开参数，引进函数，便可通过函数的值域较为简朴地求得参数m的取值范围 举一反三： 【变式1】已知函数 f(x)?ax3?bx2?cx?d的图象如下，那么（ ） （A）b?,0? (B)b?0,1? (C) b?(1,2) (D)b?(2,?) 【答案】A. 【变式2】若关于x的方程9x(4a)3x40有大于1的解，那么实数a的取值范围是( ) Aa1，t3，g(t)g(3)(3?即4a0恒成立，y=m(x?2)?(x?2)2为m的一次函数（这里思维的转化很重要） 【解析】t2，8，f(t) 1，3 22当x2时，不等式不成立。x2。令g(m)m(x?2)?(x?2)，m 1，3 2?1 1?g()?0 问题转化为g(m)在m，3上恒对于0，那么：?2；解得：x2或x1 2?g(3)?0 【总结升华】首先明确此题是求x的取值范围，这里留神另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。 第4页 共17页 例4.（2022 黄山三模）已知函数 有且仅有3个实数根x1、x2、 x3，那么x12+x22+x32=（ ） A5 B C3 D 【思路点拨】根据函数f（x）的对称性可知=k有解时总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个 实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得 【答案】A 【解析】方程有3个实数根，所以必含有1这个根 令 =1， =k有解时总会有2个根， 解得x=2或x=0 所以x12+x22+x3202+12+22=5应选A 【总结升华】此题主要测验了函数与方程的综合运用，利用了函数图象的对称性和方程根的分布.解决此类问题务必深刻理解函数和方程之间的关系. 举一反三： 【变式】（2022 湖北高考）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x） f（ax）（a1），那么（ ） Asgng（x）=sgnx Bsgng（x）=sgnx （x） 【答案】B Csgng（x）=sgnf（x） Dsgng（x）=sgnf 【解析】由于此题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数， g（x）=f（x）f（ax）（a1）， 不妨令f（x）=x，a=2， 那么g（x）=f（x）f（ax）=x， sgng（x）=sgnx所以A不正确，B正确， sgnf（x）=sgnx，C不正确；D正确； 对于D，令f（x）=x+1，a=2， 那么g（x）=f（x）f（ax）=x， sgnf（x）=sgn（x+1）=； 第5页 共17页 9