试题 _2009_年_2010_年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A卷 B卷 考试方式: 开卷 闭卷 一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点，其对应的函数的值分别为，则二次拉格朗日插值基函数为 。 2.设，则关于节点的二阶向前差分为 。3.设，则 ， 。4. 个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法？满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点？3. 设n阶矩阵A具有n个特征值且满足，请简单说明求解矩阵A的主特征值和特征向量的算法及流程。三求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：12324123并估计误差。（10分）四试用的牛顿-科特斯求积公式计算定积分。（10分）五用Newton法求的近似解。（10分）六试用Doolittle分解法求解方程组： （10分）七请写出雅可比迭代法求解线性方程组 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）数值分析（A）卷标准答案 （200920101）一 填空题（每小题3分，共12分）1. ； 2.7；3. 3，8；4. 。二简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）对于对称正定阵 A，从可知对任意k i 有。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分）2. 解：（1）若，则称为函数的不动点。 （2分）（2）必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于的不动点：1）是在其定义域内是连续函数； （2分）2）的值域是定义域的子集； （2分）3）在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分）3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）步1：输入矩阵A，初始向量v0，误差限e，最大迭代次数N;步2：置k:=1,:=0，u0=v0/|v0|;步3：计算vk=Auk-1;步4：计算并置mk:=vkr, uk:=vk/mk;步5：若|mk- | e，计算，输出mk,uk；否则，转6；步6：若kN,置k:=k+1, :=mk，转3；否则输出计算失败 信息，停止三 解：（1）利用插值法加待定系数法： 设满足 则（3分） 再设 （3分） （1分） （1分）（2） （2分）四解：应用梯形公式得 （2分） （1分） 应用辛普森公式得： （2分） （1分） 应用科特斯公式得： （2分） （2分）五解：由零点定理，在内有根。 （2分）由牛顿迭代格式 （4分） 取得， （3分）故取 （1分） 六解：对系数矩阵做三角分解： （2分） （4分）若，则； （2分）若，则 （2分）七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为 （2分）其特征多项式为，且特征值为 （2分）故有，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分）（2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 （2分）其特征值为 （2分）故有，因而雅可比迭代法收敛。 （1分）八证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）1. 证：该问题的精确解为 （2分）欧拉公式为 （2分）对任意固定的，有， （2分）则 （1分）2.证：牛顿迭代格式为 （3分）因迭代函数为而又， （2分） 则。故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）数值分析参考解答三计算题（每小题7分，共42分）： 1. 设 , 试构造基函数求的2次插值多项式 ,满足: . 解 设的基函数为，则它们满足下列关系 （1分）01011100010001（2分）(1) 令，则有, 即. 所以.或由，先得.再由，得，即. 由，得，即.所以.（1分）(2) 令，则有,即. 所以.或由,先得. 再由，得.所以.（1分）(3) 令，则有，即 . 所以或由,先得.再由，得，即. 所以（1分）最后得 .（1分）2. 求 在区间 -1,1 上的次最佳一致逼近多项式;解 设所求的2次最佳一致逼近多项式为. 令.（2分）则的首项系数为1, 并且当时, 与的偏差最小, 即与的偏差最小.（2分）因为上的3次切比雪夫Chebyshev多项式为.（1分）所以.（2分）3利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)： 解 ，,（1分）,（2分）TSCRn=11617.2590417.3264417.33283n=216.9442817.3222317.33273n=417.2277417.33207n=817.30599,（2分）,.(2分)4利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长计算）解 令，则改进的尤拉公式为：（2分）.（2分)取得，. （1分)计算结果如下： 111.21.461.42.06521.62.84754（2分)5用牛顿法求方程 在 附近的根（只要求迭代步）。解 牛顿迭代公式为：（2分).（2分)取迭代初值为，则迭代结果如下表所示：0312.3333322.05555 （3分）6写出解如下线性方程组的高斯塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯塞德尔迭代公式？ 解 ,.（1分）则 ,（1分）得 ,（1分）,（1分）为高斯-塞德尔迭代公式. （1分）这时的2个特征值为,故，迭代法不收敛.（1分）若原方程 改写成为 , 这时是严格对角优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.（1分）四证明题(每小题9分,共18分)： 1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第小题的插值余项：, 并有误差估计证：方法一：因为，则是的零点且为二重的, (1分)于是可设，令(2分)则有4个零点:,连续使用三次罗尔定理,则使,(2分)即, 得.(2分)方法二: 设, 则有3个零点, (1分)有2+1个零点,。有一个零点，所以 (2分)(2分)， 即.(2分)最后. (2分)2证明: 求积公式 恰有次代数精度.证：当时， ;(1分) 当时， ,;(1分)当时，, ; (1分)当时，, ; (1分) 当时， , ; (1分) 当时，, .(1分) 即求积公式对次数不超过的多项式准确成立, 但当时，, 不成立.(2分)综之，求