7.2与圆有关的位置关系及有关计算中考数学中考数学 (河北专用)11.(2018河北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的周长为()A.4.5B.4C.3D.2A A组组 2014-2018 2014-2018年河北中考题组年河北中考题组五年中考答案答案B如图,连接AI,BI,点I为ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC,ACIE,CAI=AIE,EAI=AIE,AE=EI.同理,BF=FI,阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+EF=AB,AB=4,阴影部分的周长为4,故选B.22.(2014河北,19,3分)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=cm2.答案答案4解析解析由题意可知扇形的周长为8cm.因为半径r=2cm,所以弧长l=8-22=4(cm),所以S扇形=lr=42=4(cm2).33.(2018河北,25,10分)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧,使点B在O右下方,且tanAOB=.在优弧上任取一点P,且能过P作直线lOB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP.(1)若优弧上一段的长为13,求AOP的度数及x的值;(2)求x的最小值,并指出此时直线l与所在圆的位置关系;(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.备用图4解析解析(1)设AOP=n,则=13,得n=90,即AOP=90.lOB,tanPQO=tanAOB=,x=19.5.(2)要使x变小,则l向左平移.如图,当l平移到与所在圆相切位置l1时,O与l的距离达到最大值OP1=26,此时Q1所对应的(负)数最小.在RtP1Q1O中,tanP1Q1O=tanAOB=,设P1Q1=3k,则OP1=4k=26,于是OQ1=5k,5x最小=-5=-32.5.此时直线l与所在圆相切.(3)31.5,-16.5.【注:下面是(3)的一种解法:过点P作PH直线OA于H.在RtPHQ中,由tanHQP=,设PH=4k,HQ=3k,则PQ=5k=12.5,PH=10,HQ=7.5.在RtPOH中,OH=24.当点P在O右上方时,如图,x=OQ=OH+HQ=31.5.6当点P在O左上方时,如图,-x=OQ=OH-HQ=16.5,x=-16.5.当点P在O左下方时,如图,-x=OQ=OH+HQ=31.5,x=-31.5.7另外,tanPOH=tanAOB,POHAOB,优弧上不存在点P在O右下方的情况】思路分析思路分析(1)首先利用弧长公式求出圆心角AOP,进而利用OQP=AOB,tanAOB=求得x的值.(2)要使x变小,则直线l向左平移.当直线l与所在圆相切时,x的值最小.利用P1Q1O=AOB,tanAOB=求得x的最小值.(3)作PH直线OA于H,先求出OH和HQ的值,再分三种情形:点P在O的右上方、左上方、左下方求出x的值.难点分析难点分析本题是以平移为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于从动态位置中寻找不变的关系.点P的位置的确定是解决问题的关键.易错警示易错警示此题为动态的综合题,需将点P的位置分类讨论,学生往往只画出点P在O的右上方或左下方而致错.84.(2017河北,23,9分)如图,AB=16,O是AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.(1)求证:AP=BQ;(2)当BQ=4时,求优弧QD的长(结果保留);(3)若APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.9解析解析(1)证明:连接OQ.(1分)AP,BQ分别与优弧CD相切,OPAP,OQBQ,即APO=Q=90.又OA=OB,OP=OQ,RtAPORtBQO.(3分)AP=BQ.(4分)(2)BQ=4,OB=AB=8,Q=90,sinBOQ=.BOQ=60.(5分)OQ=8cos60=4,优弧QD的长为=.(7分)(3)设点M为RtAPO的外心,则M为OA的中点,OM=4.当点M在扇形COD的内部时,OMOC,4OC8.(9分)思路分析思路分析(1)连接OQ.根据切线的性质得出APO=Q=90,由HL得出RtAPORtBQO,即可得AP=BQ;(2)由BQ=4,OB=8,确定出BOQ的度数及OQ的长,进而根据弧长公式求出优弧QD的长;(3)APO的外心是OA的中点,OA=8,从而可由APO的外心在扇形COD的内部求出OC的取值范围.解题技巧解题技巧遇到含有切线的解答题,首先要想到的是作辅助线,由此获得更多能够证明题目要求的条件.一般作辅助线的方法为“见切点,连圆心”,从而构造直角三角形(垂直)进行证明或计算.肛105.(2016河北,25,10分)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在上且不与A点重合,但Q点可与B点重合.发现的长与的长之和为定值l,求l;思考点M与AB的最大距离为,此时点P,A间的距离为;点M与AB的最小距离为,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为;探究当半圆M与AB相切时,求的长.11解析解析发现连接OP,OQ,则OP=OQ=PQ=2.POQ=60.的长=.l=4-=.(2分)思考;2;-.(6分)探究半圆M与AB相切,分两种情况:如图1,半圆M与AO切于点T时,连接PO,MO,TM,则MTAO,OMPQ.图112在RtPOM中,sinPOM=,POM=30.(7分)在RtTOM中,TO=,cosAOM=,即AOM=35.(8分)POA=35-30=5,的长=.(9分)如图2,半圆M与BO切于点S时,连接QO,MO,SM.图213由对称性,同理得的长=.由l=,得的长=-=.综上,的长为或.(10分)思路分析思路分析发现先确定的长度,进而求出与的长之和.思考当PQAB时,M与AB的距离最大,此时,AOP=60,AP=2;当Q与B重合时,M与AB的距离最小.探究当半圆M与AB相切时,分以下两种情况讨论:当切点在线段OA上,当切点在线段OB上,然后分别求出的长.评析评析本题是运动型问题,涉及最值、分类讨论思想,解决本题的关键是将半圆放在合适的位置上.要注意半圆M与AB相切时有两种情况,左侧相切和右侧相切是对称的,结合图形,根据cos35=或cos55=确定角度,再求弧长即可.14B B组组2014201820142018年全国中考题组年全国中考题组考点一考点一与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD等于()A.40B.50C.60D.80答案答案D由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180及ACB=50可得BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD=ODA+OAD=80.152.(2017吉林长春,7,3分)如图,点A、B、C在O上,ABC=29,过点C作O的切线交OA的延长线于点D,则D的大小为()A.29B.32C.42D.58答案答案B连接OC,ABC=29,AOC=58,CD为O的切线,OCD=90,D=180-OCD-AOC=32.故选B.思路分析思路分析连接OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对圆心角与圆周角的关系求出AOC,根据切线的性质求出OCD,再根据三角形的内角和求出D.163.(2015重庆,9,4分)如图,AB是O的直径,点C在O上,AE是O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若AOC=80,则ADB的度数为()A.40B.50C.60D.20答案答案BAE是O的切线,BAE=90,B=AOC=40,ADB=90-B=50,故选B.174.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C,ADl,垂足为D,AD交O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为.答案答案4解析解析设OC与BE相交于点F,AB是O的直径,AEB=90,AO=5,AB=10.在RtAEB中,AE=6,BE=8.直线l是O的切线,OCCD,又ADCD,AEEB,四边形CDEF为矩形,DC=EF=BE=4.185.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径作O,O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为.答案答案解析解析如图,连接OF.FG为O的切线,OFFG.RtABC中,D为AB中点,CD=BD,DCB=B.OC=OF,OCF=OFC,CFO=B,OFBD,ABFG.O为CD的中点,F为BC的中点,19CF=BF=BC=4.RtABC中,AB=10,sinB=,在RtBGF中,FG=BFsinB=4=.思路分析思路分析连接OF,可判断OFFG,由OCF=OFC,OCF=B可得OFC=B,所以OFBD,所以ABFG.在RtABC中求出sinB,再在RtBFG中,利用FG=BFsinB求得FG.206.(2015浙江宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的O与BC边相切于点E,则O的半径为.答案答案解析解析连接EO,并延长交AD于点H,连接AO.四边形ABCD是矩形,O与BC边相切于点E,EHBC,ADBC,EHAD.根据垂径定理,得AH=DH.AB=8,AD=12,AH=6,HE=8.设O的半径为r,则AO=r,OH=8-r.在RtOAH中,由勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r=.O的半径为.217.(2014山西,15,3分)一走廊拐角的横截面如图所示,已知ABBC,ABDE,BCFG,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.的圆心为O,半径为1m,且EOF=90,DE,FG分别与O相切于E,F两点.若水平放置的木棒MN的两个端点M,N分别在AB和BC上,且MN与O相切于点P,P是的中点,则木棒MN的长度为m.答案答案(4-2)22解析解析连接OB,延长OE交AB于点I,延长OF交BC于点H,由题意可知四边形OIBH为正方形.P为的中点,显然O、P、B三点共线.OE=OF=1m,EI=FH=1m,OH=2m.又OP=OE=1m,OB=OH=2m,PB=OB-OP=(2-1)m.由切线的性质可得MNOP,则MNBP.易知BMN为等腰直角三角形,MN=2PB=2(2-1)=(4-2)m.238.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交O于点G.填空:当D的度数为时,四边形ECFG为菱形;当D的度数为时,四边形ECOG为正方形.24解析解析(1)证明:连接OC.CE是O的切线,OCCE.FCO+ECF=90.DOAB,B+BFO=90.CFE=BFO,B+CFE=90.(3分)OC=OB,FCO=B.ECF=CFE.CE=EF.(5分)(2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分)22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分)259.(2018江西,20,8分)如图,在ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作ADBO交BO的延长线于点D,且AOD=BAD.(1)求证:AB为O的切线;(2)若BC=6,tanABC=,求AD的长.26解析解析(1)证明:过点O作OEAB于点E,即OEB=90.BC切O于点C,OCB=OEB=90.ADBD,ADB=90.AOD=BOC,CBD=OAD.D=90,AOD=BAD,OAD=ABD,ABD=CBO.OE=OC.AB为O的切线.(2)BC=6,tanABC=,ACB=90,AC=BCtanABC=8